Berechnen Sie \(P_S(T)\) und \(P_\overline{S}(T)\) und begründen Sie, dass aus den Ergebnissen des Experiments nicht auf die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen den tropischen Pilz geschlossen werden kann.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Berechnung von \(P_S(T)\) und \(P_\overline{S}(T)\)
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_S(T)\) und \(P_\overline{S}(T)\) lassen sich bequem mithilfe der in Teilaufgabe 2a erstellten Vierfeldertafel berechnen.
| \(S\) | \(\overline{S}\) | ||
| \(T\) | \(\textcolor{#89ba17}{x}\) | \(19 -x\) | \(\textcolor{#89ba17}{19}\) |
| \(\overline{T}\) | \(105 - x\) | \(\textcolor{#89ba17}{3x}\) | \(131\) |
| \(\textcolor{#89ba17}{105}\) | \(45\) | \(\textcolor{#89ba17}{150}\) |
Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2a
| \(S\) | \(\overline{S}\) | ||
| \(T\) | \(\textcolor{#0087c1}{13}\) | \(\textcolor{#cc071e}{6}\) | \(19\) |
| \(\overline{T}\) | \(92\) | \(39\) | \(131\) |
| \(\textcolor{#0087c1}{105}\) | \(\textcolor{#cc071e}{45}\) | \(150\) |
Vierfeldertafel unter Berücksichtigung des Ergebnisses \(x = 13\) (vgl. Teilaufgabe 2a)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[P_\textcolor{#0087c1}{S}(T) = \frac{P(\textcolor{#0087c1}{S \cap T})}{P(\textcolor{#0087c1}{S})} = \frac{\frac{\textcolor{#0087c1}{13}}{150}}{\frac{\textcolor{#0087c1}{105}}{150}} = \frac{\textcolor{#0087c1}{13}}{\textcolor{#0087c1}{105}} \approx 0{,}124 = 12{,}4\,\%\]
\[P_{\textcolor{#cc071e}{\overline{S}}}(T) = \frac{P(\textcolor{#cc071e}{\overline{S} \cap T})}{P(\textcolor{#cc071e}{\overline{S}})} = \frac{\frac{\textcolor{#cc071e}{6}}{150}}{\frac{\textcolor{#cc071e}{45}}{150}} = \frac{\textcolor{#cc071e}{6}}{\textcolor{#cc071e}{45}} \approx 0{,}133 = 13{,}3\,\%\]
Begründung, dass aus den Ergebnissen des Experiments nicht auf die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen den tropischen Pilz geschlossen werden kann
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Pflanze des Experiments vom tropischen Pilz befallen wurde, ist unter den mit dem Pflanzenschutzmittel behandelten Pflanzen nur geringfügig kleiner als unter den unbehandelten Pflanzen.
