Der Graph einer in \(\mathbb R\) definierten integrierbaren Funktion \(t\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Begründen Sie, dass für alle \(a \in \mathbb R\) gilt: \(\displaystyle \int_{-a}^{a} t(x)\,dx = 0\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Bestimmtes Integral als Flächenbilanz

Bei einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion \(t\) sind die Flächenstücke, die der Graph von \(t\) in den Intervallen \([-a; 0]\) und \([0; a]\) mit der \(x\)-Achse einschließt gleich groß.

Die Lage der Flächenstücke ist bzüglich der \(x\)-Achse vertauscht (unterhalb/oberhalb der \(x\)-Achse). In der Berechnung des Integrals erhalten die Flächeninhalte somit entgegengestzte Vorzeichen.

Folglich ergibt die Summe der Flächeninhalte eine Flächenbilanz gleich Null.

\[\int_{-a}^{a} t(x)\;dx = \int_{-a}^{0} t(x)\;dx + \int_{0}^{a} t(x)\;dx = 0\]

Flächenbilanz des Graphen einer in \(\mathbb R\) definierten und bezüglich des Koordinatenursprungs punktsymmetrischen Funktion \(t\) im Intervall \([-a;a]\), \(a \in \mathbb R\)