Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
\[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\]
\[F(x) = 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}; \; D_{F} = D_{f} = \; ]1;+\infty[\]
Nachweis, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist
Stammfunktion
Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn
\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)
gilt.
Es ist zu zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt.
Die Ableitung der Funktion \(F\) erfolgt mithilfe der Produktregel, der Kettenregel, der Summen- und der Faktorregel sowie der Ableitung der Natürlichen Logarithmusfunktion und der Ableitung einer Potenzfunktion.

Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[F(x) = 3x - \textcolor{#0087c1}{(x - 1)} \cdot \textcolor{#cc071e}{\ln{(x - 1)}}\]
\[\begin{align*} F'(x) &= 3 - \bigg[ \underbrace{\textcolor{#0087c1}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{\ln{(x - 1)}} + \textcolor{#0087c1}{(x - 1)} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{x - 1}} \cdot 1}^{\large{\text{Kettenregel}}}}_{\large{\text{Produktregel}}} \bigg] \\[0.8em] &= 3 - \ln{(x - 1)} - 1 \\[0.8em] &= 2 - \ln{(x - 1)} \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]
Also ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat
Die Menge aller Stammfunktionen von \(f\) ist gegeben durch:
\[F(x) + C = 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)} + C\]
Der Graph der gesuchten Stammfunktion soll durch den Punkt \((2|0)\) verlaufen. Es muss also \(F(\textcolor{#89ba17}{2}) + C = 0\) gelten.
\[\begin{align*} F(\textcolor{#89ba17}{2}) + C &= 0 \\[0.8em] 3 \cdot \textcolor{#89ba17}{2} - (\textcolor{#89ba17}{2} - 1) \cdot \ln{(\textcolor{#89ba17}{2} - 1)} + C &= 0 \\[0.8em] 6 - \ln{1} + C &= 0 &&| \; \ln{1} = 0; \; \left( \text{allg.:} \; \log_{a}{1} = 0 \right) \\[0.8em] 6 + C &= 0 &&| - 6 \\[0.8em] C &= -6 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad F(x) - 6\]