Die Ebene \(M\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 3\) schneidet den Würfel in einem regulären Sechseck.

Begründen Sie, dass \(M\) parallel zu \(L\) ist. Geben Sie die Schnittpunkte von \(M\) mit der \(x_1\)-Achse sowie mit der \(x_3\)-Achse an und weisen Sie nach, dass \(M\) den Mittelpunkt der Strecke \([BC]\) enthält.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

\[L\,\colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 6\]

\[M\,\colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 3\]

 

Begründung, dass \(M\) parallel zu \(L\) ist

Lagebeziehung von Ebenen

Lagebeziehung von Ebenen

\(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace\) und \(\enspace F \colon \overrightarrow{n}_{F} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{B}) = 0\)

oder

\(E \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R \enspace\) und \(\enspace F \colon \overrightarrow{n}_{F} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{B}) = 0\)

\(\overrightarrow{n}_{E} = k \cdot \overrightarrow{n}_{F}, \; k \in \mathbb R\) \(\Rightarrow \; \overrightarrow{n}_{E} \parallel \overrightarrow{n}_{F}\)

oder

\(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{F} = 0\) und \(\overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{F} = 0\) \(\Leftrightarrow \; \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{n}_{F}\) und \(\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{n}_{F}\)

\(\overrightarrow{n}_{E} \neq k \cdot \overrightarrow{n}_{F}, \; k \in \mathbb R\) \(\Rightarrow \; \overrightarrow{n}_{E}\nparallel \overrightarrow{n}_{F}\)

oder

\(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{F} \neq 0\) und/oder \(\overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{F} \neq 0 \)

\(B \in E\) oder \(A \in F\)

\(\Longrightarrow \enspace\)\(E\) und \(F\) sind identisch.

\(B \notin E\) oder \(A \notin B\)

\(\Longrightarrow \enspace\)\(E\) und \(F\) sind (echt) parallel (ggf. Abstand berechnen).

\(\Longrightarrow \enspace\)\(E\) und \(F\) schneiden sich in einer Schnittgeraden \(s\) unter dem Schnittwinkel \(\alpha\) (ggf. Gleichung der Schnittgeraden ermitteln und/oder Schnittwinkel berechnen.)

\[\overrightarrow{n}_L = \overrightarrow{n}_M = \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix}\]

 

Es gibt keinen Punkt \(P\,(p_1|p_2|p_3)\) mit der Eigenschaft \(\,P \in L\) und \(P \in M\).

 

\[\left. \begin{align*}p_1 - p_2 + p_3 &= 6 \\[0.8em] \wedge \quad p_1 - p_2 + p_3 &= 3 \end{align*} \right\rbrace \enspace \text{keine Lösung}\]

 

Es lässt sich leicht nachweisen, dass einer der Punkte \(B\), \(E\) und \(G\), die in der Ebene \(L\) liegen (siehe Teilaufgabe a), nicht in der Ebene \(M\) liegt. 

 

\[B\,(6|0|0)\,,E\,(0|0|6)\,, G\,(6|6|6) \in L\]

 

\[B \notin M\,\colon\, 6  - 0 + 0 \neq 3 \]

\[E \notin M\,\colon\, 0  - 0 + 6 \neq 3\]

\[G \notin M\,\colon\, 6  - 6 + 6 \neq 3\]

 

\[\Longrightarrow \quad M \parallel L\]

Die Ebene \(M\) ist echt parall zur Ebene \(L\).

 

Um zu zeigen, dass die beiden Ebenen \(L\) und \(M\) echt parallel zueinander sind, kann als Alternative auch der Abstand \(d\,(L;M)\) der beiden Ebenen nachgewiesen werden.

 

\(B\,(6|0|0)\,,E\,(0|0|6)\,, G\,(6|6|6) \in L\) (siehe Teilaufgabe a)

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(L;M) = d\,(B;M) = d\,(E;M) = d\,(G;M)\]

Abstand Punkt - Ebene

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) zu einer in der Hesseschen Normalenform (HNF) vorliegenden Ebene \(E\) gilt:

Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace (\text{HNF})\]

\[d(P;E) = \left| \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A}) \right|\]

Koordinatendarstellung

\[E \colon \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} = 0 \enspace (\text{HNF})\]

\[d(P;E) = \left| \frac{n_{1}p_{1} + n_{2}p_{2} + n_{3}p_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} \right|\]

Dabei ist \(\overrightarrow{n}^{0}_{E} = \dfrac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert}\) der Einheitsvektor des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).

\[M\,\colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 3 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {n}_M = \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix}\]

 

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(M\) berechnen:

 

\[\vert \overrightarrow{n}_M \vert = \left| \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

 

\[M^{HNF}\,\colon \, \frac{x_1 - x_2 + x_3 - 3}{\sqrt{3}} = 0\]

 

Abstand \(d(L;M)\) berechnen:

 

\[B\,(6|0|0)\,,E\,(0|0|6)\,,G\,(6|6|6) \in L\]

 

\[d\,(L;M) = d\,(B; M) = \left| \frac{6 - 0 + 0 - 3}{\sqrt{3}} \right| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

oder

\[d\,(L;M) = d\,(E;M) = \left| \frac{0 - 0 + 6 - 3}{\sqrt{3}} \right| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

oder

\[d\,(L;M) = d\,(G;M) = \left| \frac{6 - 6 + 6 - 3}{\sqrt{3}} \right| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

 

\(\Longrightarrow \quad M \parallel L\;\) mit \(\;d\,(L;M) = \sqrt{3}\)

Die Ebene \(M\) ist echt parall zur Ebene \(L\).

 

Schnittpunkte von \(M\) mit der \(x_{1}\)-Achse sowie mit der \(x_{3}\)-Achse

 

\[M\,\colon \, x_1 -x_2 + x_3 = 3\]

 

Schnittpunkt \(S_1\) der Ebene \(M\) mit der \(x_1\)-Achse:

 

\[x_1\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow X = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\begin{align*}M \cap x_1\text{-Achse}\, \colon \, \lambda - 0 + 0 &= 3 \\[0.8em] \lambda &= 3\end{align*}\]

 

\[S_1 \in x_1\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow S_1 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S_1(3|0|0)\]

 

Schnittpunkt \(S_3\) der Ebene \(M\) mit der \(x_3\)-Achse:

 

\[x_3\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow X = \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

\[\begin{align*}M \cap x_3\text{-Achse}\, \colon \, 0 - 0 + \mu &= 3 \quad \\[0.8em] \mu &= 3 \end{align*}\]

 

\[S_3 \in x_3\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow S_3 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S_3(0|0|3)\]

 

Nachweis, das \(M\) den Mittelpunkt der Strecke \([BC]\) enthält

Mittelpunkt einer Strecke

Mittelpunkt einer Strecke

Für den Ortsvektor \(\overrightarrow{M}\) des Mittelpunkts \(M\) einer Strecke \([AB]\) gilt:

\[\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right)\]

\[B\,(6|0|0)\,, \enspace C\,(6|6|0)\]

 

\[\overrightarrow M_{[BC]} = \frac{1}{2} \left(\overrightarrow{B }+ \overrightarrow{C}\right) = \frac{1}{2} \left[ \begin {pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + \begin {pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad M_{[BC]}(6|3|0)\]

 

\[M\,\colon \, x_1 -x_2 + x_3 = 3\]

 

\[M_{[BC]} \in M\, \colon \, 6 - 3 + 0 = 3 \enspace (\text{w})\]