Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{4 + x} - 1\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{g}\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.
Geben Sie \(D_{g}\) und die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{g}\) mit der \(y\)-Achse an.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Maximale Definitionsmenge einer Wurzelfunktion, Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der \(y\)-Achse
Anmerkung:
Die maximale Definitionsmenge \(D_{g}\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.
\[g(x) = 2 \cdot \sqrt{4 + x} - 1\]
Maximale Definitionsmenge \(D_{g}\)
Der Radikand (Term unter der Wurzel) darf nicht negativ sein.
\[\begin{align*} 4 + x &\geq 0 & &| - 4 \\[0.8em] x &\geq -4 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad D_{g} = [-4;+\infty[\]
Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(y\)-Achse
Der Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(g\) mit der \(y\)-Achse hat die Koordinaten \(S_{y}(0|g(0))\). Es ist also der Funktionswert \(g(0)\) zu berechnen.
\[g(x) = 2 \cdot \sqrt{4 + x} - 1\]
\[g(0) = 2 \cdot \sqrt{4 + 0} - 1 = 2 \cdot 2 - 1 = 3\]
\[\Longrightarrow \quad S_{y}(0|3)\]
Der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{4 + x} - 1; \; D_{g} = [-4;+\infty[\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|3)\).
