Bestimmen Sie den kleinsten Wert von \(n\), für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens 99 % beträgt.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\(X_n\): Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden.
Die Zufallsgröße \(X_n\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{n};\textcolor{#cc071e}{0{,}05})\) binomialverteilt (vgl. Angabe Aufgabe 1).
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
„Bestimmen Sie den kleinsten Wert von \(\textcolor{#0087c1}{n}\), für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens 99 % beträgt."
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „kein Treffer".
\[\underbrace{P(X \geq 1)}_{\text{mind. 1 Treffer}} = \underbrace{1 - \underbrace{P(X = 0)}_{\text{kein Treffer}}}_{\text{nicht kein Treffer}}\]
\begin{align*} P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{n}}(\textcolor{#e9b509}{X_n \geq 1}) &\textcolor{#89ba17}{\geq} \textcolor{#89ba17}{0{,}99} & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}05}^{n}(X_n = 0) &\geq 0{,}99 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}05}^{n}(X_n = 0) &\geq -0{,}01 & &| \textcolor{#cc071e}{\cdot (-1)} \enspace \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht sich!}} \\[0.8em] P_{0{,}05}^{n}(X_n = 0) &\textcolor{#cc071e}{\leq} 0{,}01 & &| \; P_{0{,}05}^{n}(X_n = 0)\;\text{ausformulieren} \\[0.8em] \binom{n}{0} \cdot {0{,}05}^{0} \cdot (1 - 0{,}05)^{n - 0} &\leq 0{,}01 &&| \; \binom{n}{0} = 1; \; a^0 = 1 \\[0.8em] {0{,}95}^{n} &\leq 0{,}01 & &| \; \ln \;\text{(Logarithmieren)}\\[0.8em] \ln\left( {0{,}95}^{n} \right) &\leq \ln 0{,}01 & &| \; \log_{a}\left(b^{r}\right) = r \cdot \log_{a}b \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}95 &\leq \ln 0{,}01 & &| \textcolor{#cc071e}{: \ln 0{,}95 < 0} \enspace \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht sich!}} \\[0.8em] n &\textcolor{#cc071e}{\geq} \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}95} \\[0.8em] n &\gtrapprox 89{,}8 &&| \; n \in \mathbb N\; \text{(Anzahl der Pflanzen, ...)} \\[1.6em] \Rightarrow \enspace n &= 90 \end{align*}
Damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens 99 % beträgt, müssen mindestens 90 Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht werden.