Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\).
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1
\[f(x) = e^{2x + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\]
Nachweis, dass \(f\) umkehrbar ist
Kriterien für die Umkehrbarkeit einer Funktion
Eine Funktion \(f\,\colon\,\mapsto f(x)\) mit der Definitionsmenge \(D_{f}\) und der Wertemenge \(W_{f}\) heißt umkehrbar, falls es zu jedem \(y \in W_{f}\) genau ein \(x \in D_{f}\) mit \(f(x) = y\) gibt.
Ist eine Funktion auf Ihrer Definitionsmenge oder einer Teilmenge streng monoton (steigend oder fallend), so ist sie dort umkehrbar.
Die Funktion \(f\) ist in \(\mathbb R\) umkehrbar, wenn sie in \(\mathbb R\) streng monoton (steigend oder fallend) ist.
Gemäß dem Monotoniekriterium bestimmt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) das Monotonieverhalten von \(f\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Erste Ableitung \(f'\) bilden:
Hierfür wird die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion sowie die Kettenregel benötigt.
\[f(x) = \textcolor{#0087c1}{e}^{\textcolor{#cc071e}{2x + 1}}; \; D_{f} = \mathbb R\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[f'(x) = \textcolor{#0087c1}{e}^{\textcolor{#cc071e}{2x + 1}} \cdot \textcolor{#cc071e}{2} = \underbrace{2e^{2x + 1}}_{\textcolor{#e9b509}{>\,0}}\]
Da \(\textcolor{#e9b509}{f'(x) > 0}\) für alle \(x \in \mathbb R\) gilt, ist die Funktion \(f\) in \(D_{f} = \mathbb R\) streng monoton steigend und folglich umkehrbar.
Term der Umkehrfunktion von \(f\)
Für die Bestimmung des Terms der Umkehrfunktion von \(f\) wird zunächst die Funktionsgleichung \(y = f(x)\) nach \(x\) aufgelöst. Anschließend werden die Variablen \(x\) und \(y\) getauscht und \(y = f^{-1}(x)\) liefert die Umkehrfunktion.
Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\)
Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\)
1. Funktionsgleichung \(\,y = f(x)\,\) nach \(\,x\,\) auflösen
2. Variablen tauschen: \(\;x \longleftrightarrow y \quad \Longrightarrow \quad y = f^{-1}(x)\)
Es gilt: \(\;D_{f^{-1}} = W_f\;\) und \(\; W_{f^{-1}} = D_f\)
Graph der Umkehrfunktion
Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinander symmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\).
\[\begin{align*} y &= f(x) \\[0.8em] y &= e^{2x + 1} &&| \, \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{y} &= \ln{(e^{\textcolor{#cc071e}{2x + 1}})} &&| \, \log_{a}(b^{\textcolor{#cc071e}{r}}) = \textcolor{#cc071e}{r} \cdot \log_{a}{b}\; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] \ln{y} &= \textcolor{#cc071e}{(2x + 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{\ln{e}} &&| \, \textcolor{#0087c1}{\ln{e}} = 1\; (\text{allg.:}\; \log_{\textcolor{#0087c1}{a}}{\textcolor{#0087c1}{a}} = 1) \\[0.8em] \ln{y} &= 2x + 1 &&| - 1 \\[0.8em] \ln{y} - 1 &= 2x &&| : 2 \\[0.8em] \frac{\ln{y} - 1}{2} &= x \\[0.8em] \frac{1}{2}(\ln{y} - 1) &= x &&| \; x \longleftrightarrow y \; \text{(Variablentausch)} \\[0.8em] y &= \frac{1}{2}(\ln{x} - 1) &&| \; y = f^{-1}(x) \\[0.8em] f^{-1}(x) &= \frac{1}{2}(\ln{x} - 1) \end{align*}\]
Alternative:
Zuerst die Variablen \(x\) und \(y\) tauschen und anschließend die Gleichung \(x = f(y)\) nach \(y\) auflösen.
