Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung des Terms \(1 - P(X \geq 275)\), wobei \(X\) eine binomial verteilte Zufallsgröße mit den Parametern \(n = 300\) und \(p = 0{,}95\) bezeichnet.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe c
Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße im Sachzusammenhang beschreiben
\[1 - P(X \geq 275)\]
\(n = 300\), \(p = 0{,}95\)
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(300;0{,}95)\) binomialverteilt.
„Ein Samenkorn der höheren Qualität A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ..." (vgl. Angabe)
Der Parameter \(p = 0{,}95\) lässt somit im Sachzusammenhang erkennen, dass die Zufallsgröße \(X\) die Anzahl keimender Samenkörner der Qualität A beschreibt.
Der Parameter \(n = 300\) bedeutet, dass das Keimen von 300 ausgesäten Samenkörner der Qualität A beobachtet wird.
Der Term \(P(X \geq 275)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 275 Samenkörner keimen.
Dann beschreibt der Term \(1 - P(X \geq 275)\) die Wahrscheinlichkeit dafür, das nicht mindestens 275 Samenkörner keimen, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 274 Samenkörner keimen.
Dies lässt sich durch Termumformung bestätigen:
\[\begin{align*} 1 - P(X \geq 275) &= 1 - \left[ 1 - P(X \leq 274) \right] \\[0.8em] &= P(X \leq 274) \end{align*}\]
Ergebnis:
Der Term \(1 - P(X \geq 275)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 300 ausgesäten Samenkörner der Qualität A höchstens 274 Samenkörner keimen.
