Abiturlösungen Mathematik Bayern 2021

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Betrachtet werden eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(p\) und der Punkt \(Q(2|p(2))\).

Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(p\) im Punkt \(Q\) ermitteln kann.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

Mögliche Beschreibung

Der Ansatz kann mit der allgemeinen Geradengleichung \(y = \textcolor{#cc071e}{m} \cdot x + \textcolor{#0087c1}{t}\) erfolgen.

Für die Steigung \(\textcolor{#cc071e}{m}\) der Tangente an den Graphen von \(p\) im Punkt \(Q(\textcolor{#e9b509}{2}|\textcolor{#e9b509}{p(2)})\) gilt:

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#cc071e}{p'(\textcolor{#e9b509}{2})}\]

 

Durch Einsetzen der Koordinaten von \(Q(\textcolor{#e9b509}{2}|\textcolor{#e9b509}{p(2)})\) in die Geradengleichung lässt sich der y-Achsenabschnitt \(\textcolor{#0087c1}{t}\) berechnen:

 

\[\textcolor{#e9b509}{p(2)} = \textcolor{#cc071e}{p'(\textcolor{#e9b509}{2})} \cdot \textcolor{#e9b509}{2} + \textcolor{#0087c1}{t} \enspace \Leftrightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{t} = \textcolor{#e9b509}{p(2)} - \textcolor{#cc071e}{p'(\textcolor{#e9b509}{2})} \cdot \textcolor{#e9b509}{2}\]

 

Anmerkung:

Eine Übersicht möglicher Tangentenaufgaben findet sich unter: Abiturskript - Lernhilfen Analysis - Tangentenaufgaben - 3 mögliche Aufgabenstellungen