Gegeben ist die Funktion \(f\,\colon x \mapsto 2 - \sqrt{12-2x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f = \; ]-\infty;6]\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und geben Sie \(f(6)\) an.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[f(x) = 2 - \sqrt{12 - 2x}\,; \quad D_{f} = \; ]-\infty;6]\]
Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle)
\[\begin{align*} f(x) &= 0 \\[0.8em] 2 - \sqrt{12 - 2x} &= 0 & &| + \sqrt{12 - 2x} \\[0.8em] 2 &= \sqrt{12 - 2x} & &| \; (\dots)^2 \\[0.8em] 4 &= 12 - 2x & &| + 2x - 4 \\[0.8em] 2x &= 8 & &| : 2 \\[0.8em] x &= 4 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad N\,(4|0)\]
Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse
\[\begin{align*} f(0) &= 2 - \sqrt{12 - 2 \cdot 0} \\[0.8em] &= 2 - \sqrt{12} \\[0.8em] &= 2 - 2\sqrt{3} \\[0.8em] &\approx -1{,}46 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad S_{y}\,(0|2 - 2\sqrt{3})\]
Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\)
\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} 2 - \underbrace{\sqrt{12 - 2x}}_{\to \, \infty} = - \infty \]
Funktionswert \(f(6)\)
\[f(6) = 2 - \sqrt{12 - 2 \cdot 6} = 2\]
