Abiturlösungen Mathematik Bayern 2021

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Ermitteln Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks den kleinsten symmetrischen um den Erwartungswert liegenden Bereich, in dem die Werte der Zufallsgröße \(X\) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75 % liegen.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

\(X\): Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien entliehen werden

\(n = 200\) (Länge der Bernoulli-Kette)

\(p = 0{,}15\) (Trefferwahrscheinlichkeit für das Ereignis „Familie entleiht einen Bollerwagen.")

 

Schematische Darstellung: Kleinster symmetrisch um den Erwartungswert μ liegender Bereich, in dem die Werte der Zufallsgröße X mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75 % liegen

Schematische Darstellung: Kleinster symmetrisch um den Erwartungswert \(\textcolor{#0087c1}{\mu}\) liegender Bereich \(\textcolor{#0087c1}{\mu} - \textcolor{#e9b509}{a} \leq X \leq \textcolor{#0087c1}{\mu} + \textcolor{#e9b509}{a}\), in dem die Werte der Zufallsgröße \(X\) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75 % liegen. Dabei bedeutet \(\textcolor{#e9b509}{a}\) die Abweichung vom Erwartungswert \(\textcolor{#0087c1}{\mu}\).

Es ergibt sich folgende Bedingung:

 

\[P_{0{,}15}^{200}(\textcolor{#0087c1}{\mu} - \textcolor{#e9b509}{a} \leq X \leq \textcolor{#0087c1}{\mu} + \textcolor{#e9b509}{a}) \geq 0{,}75\]

 

Erwartungswert \(\textcolor{#0087c1}{\mu} = E(X)\) der nach \(B(200;0{,}15)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) berechnen:

Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)

\(\mu = E(X) = n \cdot p\)  (vgl. Merkhilfe)

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.

\[\textcolor{#0087c1}{\mu} = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}15 = \textcolor{#0087c1}{30}\]

 

Kleinsten Bereich \(\textcolor{#0087c1}{30} - \textcolor{#e9b509}{a} \leq X \leq \textcolor{#0087c1}{30} + \textcolor{#e9b509}{a}\) mithilfe des Stochastischen Tafelwerks ermitteln:

In der Tabelle für \(p = 0{,}15\) und \(n = 200\) lässt sich mithilfe der in der rechten Spalte tabellarisierten aufsummierten Wahrscheinlichkeitswerte \(\sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(n;p;i)\) in etwa abschätzen, wie die Abweichung \(\textcolor{#e9b509}{a}\) vom Erwartungswert \(\textcolor{#0087c1}{\mu = 30}\) zu wählen ist, damit die Bedingung \(P_{0{,}15}^{200}(\textcolor{#0087c1}{30} - \textcolor{#e9b509}{a} \leq X \leq \textcolor{#0087c1}{30} + \textcolor{#e9b509}{a}) \geq 0{,}75\) erfüllt ist.

 

Für \(\textcolor{#e9b509}{a = 5}\) ergibt sich mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST):

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

\[\begin{align*}P_{0{,}15}^{200}(\textcolor{#0087c1}{\mu} - \textcolor{#e9b509}{a} \leq X \leq \textcolor{#0087c1}{\mu} + \textcolor{#e9b509}{a}) &= P_{0{,}15}^{200}(\textcolor{#0087c1}{30} - \textcolor{#e9b509}{5} \leq X \leq \textcolor{#0087c1}{30} + \textcolor{#e9b509}{5})\\[0.8em] &= P_{0{,}15}^{200}(25 \leq X \leq 35) \\[0.8em] &= P_{0{,}15}^{200}(X \leq 35) - P_{0{,}15}^{200}(X \leq 24) \\[0.8em] &= \sum \limits_{i\,=\,0}^{35}B(200;0{,}15;i) - \sum \limits_{i\,=\,0}^{24}B(200;0{,}15;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}86127 - 0{,}13682 \\[0.8em] &= 0{,}72445 \textcolor{#cc071e}{<} 0{,}75 \end{align*}\]

 

Mit \(P_{0{,}15}^{200}(25 \leq X \leq 35) \textcolor{#cc071e}{<} 0{,}75\) ist der Bereich \(25 \leq X \leq 35\) noch zu klein.

 

Für \(\textcolor{#e9b509}{a = 6}\) ergibt sich mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST):

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

\[\begin{align*}P_{0{,}15}^{200}(\textcolor{#0087c1}{\mu} - \textcolor{#e9b509}{a} \leq X \leq \textcolor{#0087c1}{\mu} + \textcolor{#e9b509}{a}) &= P_{0{,}15}^{200}(\textcolor{#0087c1}{30} - \textcolor{#e9b509}{6} \leq X \leq \textcolor{#0087c1}{30} + \textcolor{#e9b509}{6})\\[0.8em] &= P_{0{,}15}^{200}(24 \leq X \leq 36) \\[0.8em] &= P_{0{,}15}^{200}(X \leq 36) - P_{0{,}15}^{200}(X \leq 23) \\[0.8em] &= \sum \limits_{i\,=\,0}^{36}B(200;0{,}15;i) - \sum \limits_{i\,=\,0}^{23}B(200;0{,}15;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}89872 - 0{,}09592 \\[0.8em] &= 0{,}8028 \textcolor{#89ba17}{>} 0{,}75 \end{align*}\]

 

Somit ist \(24 \leq X \leq 36\) der kleinste symmetrisch um den Erwartungswert liegenden Bereich, in dem die Werte der Zufallsgröße \(X\) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75 % liegen.

 

Anmerkung:

Es ist wichtig, beide Berechnungen für \(\textcolor{#e9b509}{a = 5}\) und \(\textcolor{#e9b509}{a = 6}\) durchzuführen. Denn nur dann ist nachgewiesen, dass sich für \(\textcolor{#e9b509}{a = 6}\) der kleinste Bereich \(24 \leq X \leq 36\) ergibt.