Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\).
Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und untersuchen Sie anhand des Funktionsterms das Verhalten von \(f\) für \(x \to +\infty\). Bestimmen Sie diejenigen \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0{,}96\) gilt.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\]
Rechnerischer Nachweis, dass \(G_{f}\) bezüglich der \(y\)-Achse symmetrisch ist
Es ist nachzuweisen, dass \(f(-x) = f(x)\) gilt.
Symmetrie von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems
Der Graph einer Funktion \(f\) ist
achsensymmetrisch bzgl. der \(\boldsymbol{y}\)-Achse,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = f(x)\).
punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = -f(x)\)
\[f(-x) = \frac{(-x)^{2} - 1}{(-x)^{2} + 1} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = f(x)\]
\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse.
Untersuchung des Verhaltens von \(f\) für \(x \to +\infty\) anhand des Funktionsterms
1. Möglichkeit: Vergleich des Zähler- und Nennerpolynoms
\[f(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{x^{2} - 1}}{\textcolor{#e9b509}{x^{2} + 1}}; \; D_{f} = \mathbb R\]
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
Da das Zählerpolynom und das Nennerpolynom vom selben Grad sind (Grad 2), besitzt der Graph \(G_{f}\) der gebrochenrationalen Funktion \(f\) eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\mathbf{x}\)-Achse.
Die Gleichung der waagrechten Asymptote lässt sich mithilfe des Quotienten der Faktoren der höchsten Potenzen des Zähler- und Nennerpolynoms ermitteln.
\[f(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{\overbrace{1 \cdot x^{2}}^{\text{Faktor 1}}} - 1}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{1 \cdot x^{2}}_{\text{Faktor 1}}} + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\]
\[\Longrightarrow \quad y = \frac{\textcolor{#cc071e}{1}}{\textcolor{#e9b509}{1}} = 1\]
Folglich besitzt \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als waagrechte Asymptote (vgl. Abbildung 1).
2. Möglichkeit: Grenzwertbetrachtung für \(x \to +\infty\)
Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\) wird die höchste Potenz des Nennerpolynoms im Zähler und im Nenner ausgeklammert und gekürzt.
\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{x^{2} - 1}{\textcolor{#e9b509}{x^{2}} + 1} &&| \; x^{2} \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} &&| \;(x \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{1 - \overbrace{\frac{1}{x^{2}}}^{\to\,0}}{1 + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to\,0}} \\[0.8em] &= 1 \end{align*}\]
Folglich besitzt \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als waagrechte Asymptote (vgl. Abbildung 1).
Bestimmung der \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0{,}96\) gilt
\[\begin{align*} f(x) &= 0{,}96 \\[0.8em] \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} &= 0{,}96 &&| \cdot (x^{2} + 1) \\[0.8em] x^{2} - 1 &= 0{,}96 \cdot (x^{2} + 1) \\[0.8em] x^{2} - 1 &= 0{,}96x^{2} + 0{,}96 &&| -0{,}96x^{2} + 1 \\[0.8em] 0{,}04x^{2} &= 1{,}96 &&| : 0{,}04 \\[0.8em] x^{2} &= 49 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \Longrightarrow \enspace x_{1} &= -7; \; x_{2} = 7 \end{align*}\]
