Abiturlösungen Mathematik Bayern 2020

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\).

Abbildung 1 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und untersuchen Sie anhand des Funktionsterms das Verhalten von \(f\) für \(x \to +\infty\). Bestimmen Sie diejenigen \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0{,}96\) gilt.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

Rechnerischer Nachweis, dass \(G_{f}\) bezüglich der \(y\)-Achse symmetrisch ist

Es ist nachzuweisen, dass \(f(-x) = f(x)\) gilt.

Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)

Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems

\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung

\[f(-x) = \frac{(-x)^{2} - 1}{(-x)^{2} + 1} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = f(x)\]

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse.

 

Untersuchung des Verhaltens von \(f\) für \(x \to +\infty\) anhand des Funktionsterms

 

1. Möglichkeit: Vergleich des Zähler- und Nennerpolynoms

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{x^{2} - 1}}{\textcolor{#e9b509}{x^{2} + 1}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.

Senkrechte Asymptoten

Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)

\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)

gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\)

Waagrechte und schräge Asymptoten

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall

\(m < n\): die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote,
\(m = n\): eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{a_{m}}{b_{n}}\),
\(m = n + 1\): eine schräge Asymptote,
\(m > n + 1\): keine waagrechte oder schräge Asymptote.

Da das Zählerpolynom und das Nennerpolynom vom selben Grad sind (Grad 2), besitzt der Graph \(G_{f}\) der gebrochenrationalen Funktion \(f\) eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\mathbf{x}\)-Achse.

Die Gleichung der waagrechten Asymptote lässt sich mithilfe des Quotienten der Faktoren der höchsten Potenzen des Zähler- und Nennerpolynoms ermitteln.

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{\overbrace{1 \cdot x^{2}}^{\text{Faktor 1}}} - 1}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{1 \cdot x^{2}}_{\text{Faktor 1}}} + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

\[\Longrightarrow \quad y = \frac{\textcolor{#cc071e}{1}}{\textcolor{#e9b509}{1}} = 1\]

 

Folglich besitzt \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als waagrechte Asymptote (vgl. Abbildung 1).

 

2. Möglichkeit: Grenzwertbetrachtung für \(x \to +\infty\)

Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\) wird die höchste Potenz des Nennerpolynoms im Zähler und im Nenner ausgeklammert und gekürzt.

 

\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{x^{2} - 1}{\textcolor{#e9b509}{x^{2}} + 1} &&| \; x^{2} \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} &&| \;(x \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{1 - \overbrace{\frac{1}{x^{2}}}^{\to\,0}}{1 + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to\,0}} \\[0.8em] &= 1 \end{align*}\]

 

Folglich besitzt \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als waagrechte Asymptote (vgl. Abbildung 1).

 

Bestimmung der \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0{,}96\) gilt

 

\[\begin{align*} f(x) &= 0{,}96 \\[0.8em] \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} &= 0{,}96 &&| \cdot (x^{2} + 1) \\[0.8em] x^{2} - 1 &= 0{,}96 \cdot (x^{2} + 1) \\[0.8em] x^{2} - 1 &= 0{,}96x^{2} + 0{,}96 &&| -0{,}96x^{2} + 1 \\[0.8em] 0{,}04x^{2} &= 1{,}96 &&| : 0{,}04 \\[0.8em] x^{2} &= 49 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \Longrightarrow \enspace x_{1} &= -7; \; x_{2} = 7 \end{align*}\]