Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion \(w_{40;1;-0{,}2}\) beschrieben, die im Folgenden mit \(w\) bezeichnet wird. Es gilt also \(w(x) = \dfrac{40}{1+e^{-0{,}2x}}\). Dabei ist \(x\) die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und \(w(x)\) die Anzahl der Seeadler.
Geben Sie auf der Grundlage des Modells an, wie viele Seeadler angesiedelt wurden, und begründen Sie, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf 32 angewachsen ist.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Anzahl der angesiedelten Seeadler
Es wurden 20 Seeadler angesiedelt.
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
\[w(x) = \dfrac{40}{1+e^{-0{,}2x}}\]
Zeitpunkt der Ansiedlung: \(x = \textcolor{#e9b509}{0}\) (Jahre)
\[w(\textcolor{#e9b509}{0}) = \frac{40}{1+e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#e9b509}{0}}} = \frac{40}{1+e^0} = \frac{40}{1+1} = 20\]
Jahre, bis die Anzahl der Seeadler auf 32 angewachsen ist
\[\begin{align*} w(x) &= 32 \\[0.8em] \frac{40}{1+e^{-0{,}2x}} &= 32 &&| \cdot (1 + e^{-0{,}2x}) \\[0.8em] 40 &= 32 \cdot (1 + e^{-0{,}2x}) &&| : 32 \\[0.8em] \frac{5}{4} &= 1 + e^{-0{,}2x} &&| - 1 \\[0.8em] \frac{1}{4} &= e^{-0{,}2x} &&| \; \ln \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{\left(\frac{1}{4}\right)} &= \ln{\left( e^{-0{,}2x} \right)} &&|\; \ln{e^x} = x \; (\text{allg.:}\; \log_a{a^x} = x) \\[0.8em] \ln{\left(\frac{1}{4}\right)} &= -0{,}2x \\[0.8em] \ln{\left( 2^{-2} \right)} &= -0{,}2x &&| \; \log_a{b^r} = r \cdot \log_a{b} \;\text{(optional)} \\[0.8em] -2\ln{2} &= -0{,}2x &&| \cdot (-5) \\[0.8em] 10\ln2 &= x \\[0.8em] 7 &\approx x \end{align*}\]
Nach etwa 7 Jahren ist die Anzahl der Seeadler auf 32 angewachsen.
