Auf dem Rückflug nach München ist die Maschine mit 240 Passagieren besetzt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich auf dem Rückflug genau 20 Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Zufallsgröße \(V \colon \enspace\) "Anzahl der Passagiere, die sich für das vegetarische Menü entscheiden"
Analyse der Angabe:
"... ist die Maschine mit 240 Passagieren besetzt."
\(\Longrightarrow \quad n = 240\)
"... dass sich ... genau 20 Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden."
\(\Longrightarrow \quad V = 20\)
\(p = 0{,}1\) (siehe Teilaufgabe 1a)
Binominalverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Bernoullikette mit der Länge \(n = 240\). Die Wahrscheinlichkeit \(P^{240}_{0{,}1} (V = 20)\) muss errechnet werden.
Anwenden der Formel von Bernoulli:
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin {align*} P^{240}_{0{,}1} (V = 20) &= B(240; 0{,}1; 20) \\[0.8em] &= \binom{240}{20} \cdot 0{,}1^{20} \cdot (1 - 0{,}1)^{200 - 20} \\[0.8em] &= \binom{240}{20} \cdot 0{,}1^{20} \cdot 0{,}9^{220} \\[0.8em] &\approx 0{,}063 = 6{,}3 \; \% \end {align*} \]
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 6,3 % entscheiden sich auf dem Rückflug genau 20 der 240 Passagiere für das vegetarische Menü.