Es gibt einen Wert von \(c\), für den der Flächeninhalt \(A(c)\) des Rechtecks \(PQRS\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(c\).

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1f

 

\(A(c) = 4c \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}; \; c \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe 1e)

 

Notwendige Bedingung für einen maximalen Flächeninhalt \(\boldsymbol{A(c)}\)

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

\[A'(c) = 0\]

 

Erste Ableitungsfunktion \(A'\) bilden:

Hierfür wird die Produktregel, die Kettenregel und die Faktorregel sowie die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion und die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[A(c) = \textcolor{#0087c1}{4c} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-\frac{1}{8}c^2}}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[\begin{align*} A'(c) &= \underbrace{\textcolor{#0087c1}{4} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-\frac{1}{8}c^2}} + \textcolor{#0087c1}{4c} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{e^{-\frac{1}{8}c^2} \cdot \left( -\frac{1}{8} \cdot 2c \right)}}^{\large{\text{Kettenregel}}}}_{\large{\text{Produktregel}}} \\[0.8em] &= 4 \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2} - c^2 \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2} &&| \; e^{-\frac{1}{8}c^2}\;\text{ausklammern} \\[0.8em] &= (4 - c^2) \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2} \end{align*}\]

 

Nullstelle von \(A'(c)\) berechnen:

 

\[A'(c) = (4 - c^2) \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{8}c^2}}_{>\,0}\]

 

\[\begin{align*}A'(c) = 0 \; \Rightarrow \; 4 - c^2 &= 0 &&| + c^2 \\[0.8em] 4 &= c^2 &&| \; \sqrt{\quad}\enspace (c \in \mathbb R^+\;\text{vgl. Angabe}) \\[0.8em] 2 &= c \end{align*}\]

 

Nachweis, dass \(\boldsymbol{A(2)}\) maximaler Flächeninhalt des Rechtecks \(\boldsymbol{PQRS}\) ist

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

\[A'(c) = \textcolor{#e9b509}{(4 - c^2)} \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{8}c^2}}_{>\,0}\]

 

Der Faktor \(\textcolor{#e9b509}{(4 - c^2)}\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(\boldsymbol{A'(c)}\) an der Stelle \(c = 2\).

 

Kurzform:

Mit \(A'(1) \textcolor{#0087c1}{> 0}\) und \(A'(3) \textcolor{#cc071e}{< 0}\) ist \(A(2)\) maximaler Flächeninhalt des Rechtecks \(PQRS\).

 

Monotonietabelle:

\(c\) \(]0;2[\) \(2\) \(]2;+\infty[\)
\(\textcolor{#e9b509}{(4 - c^2)}\) \(\textcolor{#0087c1}{+}\)   \(\textcolor{#cc071e}{–}\)
\(A'(c)\) \(\textcolor{#0087c1}{+}\)  \(0\) \(\textcolor{#cc071e}{–}\)
 \(G_A\)  \(\textcolor{#0087c1}{\nearrow}\) \(\text{Max.}\) \(\textcolor{#cc071e}{\searrow}\) 

Geeignete Testwerte sind beispielsweise \(c = 1\) und \(c = 3\) bzw, \(A'(1)\) und \(A'(3)\).

 

Halbgraphischer Nachweis:

Der Graph des Faktors \(\textcolor{#e9b509}{(4 - c^2)}\) ist für \(c \in \mathbb R^+\) der rechte Ast einer nach unten geöffneten Parabel, die an der Nullstelle \(c = 2\) einen Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{+}}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{\boldsymbol{\Large{–}}}\) hat.

Somit wechselt \(A'(c)\) an der Stelle \(c = 2\) das Vorzeichen von \(\textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{+}}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{\boldsymbol{\Large{–}}}\) und \(\boldsymbol{A(2)}\) ist maximaler Flächeninhalt des Rechtecks \(PQRS\).