Die erste Ableitung von \(h\) ist \(h'\).
Bestimmen Sie den Wert von \(\displaystyle \int _{0}^{1}h'(x)\,dx\).
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Bestimmtes Integral berechnen
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[h(x) = x^{4} + x^{2} + 1\]
Die Funkion \(h\) ist eine Stammfunktion von \(h'\).
\[\begin{align*} \int_{0}^{1} h'(x)\,dx &= [h(x)]_{0}^{1} \\[0.8em] &= \left[ x^{4} + x^{2} + 1 \right]_{0}^{1} \\[0.8em] &= 1^{4} + 1^{2} + 1 - \left( 0^{4} + 0^{2} + 1 \right) \\[0.8em] &= 1 + 1 + 1 - 1 \\[0.8em] &= 2 \end{align*}\]
