Klausuren Q11 / Q12 Mathematik Bayern

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktion und vereinfachen Sie den Term der Ableitungsfunktion soweit wie möglich.

 

a) \(f(x) = -2\cos{(3- x)}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}\)

c) \(h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}\)

Anmerkung:

Die maximale Definitionsmenge der Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) ist jeweils lediglich anzugeben. Jede diesbezügliche Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

a) Maximale Definitionsmenge und erste Ableitung der Funktion \(f\)

 

\[f(x) = -2\cos{(3- x)}\]

 

Maximale Definitionsmenge von \(f\)

 

\[\begin{align*} f(x) &= -2\cos{(3 - x)} \\[0.8em] &= -2\cos{[-(x - 3)]} & &| \; \cos{(-x)} = \cos{x} \\[0.8em] &= -2\cos{(x - 3)} \end{align*}\]

 

Die Kosinusfunktion \(x \mapsto \cos x\) ist in \(\mathbb R\) definiert.

Der Graph der Funktion \(f\) geht aus dem Graphen der Kosinusfunktion \(x \mapsto \cos{x}\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor \(2\) und Verschiebung um drei Einheiten in Richtung der positiven \(x\)-Achse hervor.

Durch die Entwicklung der Funktion \(f\) aus der Kosinusfunktion \(x \mapsto \cos{x}\) ändert sich die Definitionsmenge nicht.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R\]

 

Erste Ableitung \(f'\) von \(f\)

Die Funktion \(f\) wird mithilfe der Ableitung der Kosnusfunktion, der Kettenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel abgeleitet.

 

\[f(x) = -2\cos{(3- x)}; \; D_{f} = \mathbb R\]

Ableitungregeln

Ableitung der Kosinusfunktion

\[ f(x) = \cos x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = -\sin x\]

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

Kettenregel

\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]

Faktorregel

\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\left[u(v(x))\right]' = u'(v(x)) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = \cos{x}; \; u'(x) = -\sin{x}\]

\[v(x) = 3 - x; \; v'(x) = 0 - 1 = -1\]

 

\[\begin{align*}f'(x) &= -2 \cdot \left[ -\sin{(3 - x)} \cdot (-1) \right] \\[0.8em] &= -2\sin{(3 - x)} & &| \; -\sin{x} = \sin{(-x)} \\[0.8em] &= 2\sin\left[ -(3 - x) \right] \\[0.8em] &= 2\sin{(x - 3)} \end{align*}\] 

 

b) Maximale Definitionsmenge und erste Ableitung der Funktion \(g\)

 

\[g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}\]

 

Maximale Definitionsmenge von \(g\)

Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert.

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 2 - x^{2} &> 0 & &| + x^{2} \\[0.8em] 2 &> x^{2} & &| \; \sqrt{\quad} \enspace \Big( \text{Es gilt:} \; \sqrt{a^{2}} = \vert a \vert; \; a \in \mathbb R \Big) \\[0.8em] \sqrt{2} &> \vert x \vert \end{align*}\]

 

\[\vert x \vert = \begin{cases} \begin{align*}x \; \text{für} \; x &> 0 \\[0.8em] -x \; \text{für} \; x &< 0 \end{align*} \end{cases}\]

 

Fallunterscheidung:

Die Betragsungleichung wird durch Fallunterscheidung gelöst. Für \(x > 0\) können die Betragsstriche entfallen. Für \(x < 0\) beschreibt \(-x\) die Funktionsweise des Betrags.

 

1. Fall \(x > 0\):

\[x < \sqrt{2}\]

2. Fall \(x < 0\):

\[\begin{align*} -x &< \sqrt{2} & &| \cdot (-1) \; \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] x &> -\sqrt{2} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\]

\[\Longrightarrow \quad D_{g} = \; ]-\sqrt{2};\sqrt{2}[\]

 

Alternative: Halbgeometrische Lösung der quadratischen Ungleichung \(2 - x^{2} > 0\)

 

\[\begin{align*}2 - x^{2} > 0 \\[0.8em] -x^{2} + 2 > 0 \end{align*}\]

 

Halbgeometrische Lösung der quadratischen Ungleichung 2 - x² > 0

Die nach unten geöffnete Normalparabel mit der Gleichung \(y = -x^{2} + 2\) schneidet die \(x\)-Achse in den Punkten \(N_{1}(-\sqrt{2}|0)\) und \(N_{2}(\sqrt{2}|0)\). Für \(x \in \; ]-\sqrt{2};\sqrt{2}[\) verläuft die Parabel oberhalb der \(x\)-Achse.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{g} = \; ]-\sqrt{2};\sqrt{2}[\]

  

Erste Ableitung \(g'\) von \(g\)

Die Funktion \(g\) kann unter Anwendung der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion, der Kettenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summenregel abgeleitet werden.

 

\[g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}; \; D_{g} = \; ]-\sqrt{2};\sqrt{2}[\]

Ableitungsregeln

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

Kettenregel

\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\left[u(v(x))\right]' = u'(v(x)) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = \ln{x}; \; u'(x) = \frac{1}{x}\]

\[v(x) = 2 - x^{2}; \; v'(x) = 0 - 2x = -2x\]

 

\[\begin{align*} g'(x) &= \frac{1}{2 - x^{2}} \cdot (-2x) \\[0.8em] &= -\frac{2x}{2 - x^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x}{x^{2} - 2}\end{align*}\]

 

c) Maximale Definitionsmenge und erste Ableitung der Funktion \(h\)

 

\[h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}\]

 

Maximale Definitionsmenge von \(h\)

Der Nenner der Funktion \(h\) darf nicht gleich Null sein.

 

Nullstelle des Nenners von \(h\) berechnen:

 

\[\begin{align*} e^{x} -1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] e^{x} &= 1 & &| \; a^{x} = b \enspace \Longleftrightarrow \enspace x = \log_{a}{b} \\[0.8em] x &= \ln{1} & &| \; \log_{a}{1} = 0 \\[0.8em] x &= 0 \end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*} e^{x} -1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] e^{x} &= 1 & &| \; \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln\left( e^{x} \right) &= \ln{1} & &| \; \ln{e^{x}} = x \; \left( \text{allg.:}\; \log_{a}{a^{x}} = x \right); \; \log_{a}{1} = 0 \\[0.8em] x &= 0 \end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*} e^{x} -1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] e^{x} &= 1 \\[0.8em] e^{x} &= e^{0} & &| \; \text{Exponentenvergleich} \\[0.8em] x &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Erste Ableitung \(h'\) von \(h\)

Die Funktion \(h\) lässt sich mithilfe der Quotientenregel, der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion sowie der Summenregel ableiten.

 

\[h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}; \; D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

Ableitungsregeln

Quotientenregel

\[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]

 

\[u(x) = -2 + e^{x}; \; u'(x) = 0 + e^{x} = e^{x}\]

\[v(x) = e^{x} - 1; \; v'(x) = e^{x} - 0 = e^{x}\]

 

\[\begin{align*} h'(x) &= \frac{e^{x} \cdot \left( e^{x} - 1 \right) - \left( -2 + e^{x} \right) \cdot e^{x}}{\left( e^{x} - 1 \right)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{e^{x} \cdot \left( e^{x} - 1 + 2 - e^{x} \right)}{\left( e^{x} - 1 \right)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{e^{x}}{\left( e^{x} - 1 \right)^{2}} \end{align*}\]