Abiturlösungen Mathematik Bayern 2017

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Bestimmen Sie eine Gleichung der Symmetrieachse \(g\) des Dreiecks \(CDS\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

Mittelpunkt einer Strecke, Geradengleichung in Parameterform

 

Gerade g durch Punkt S und den Mittelpunkt der Strecke [CD]

Die Symmetrieachse \(g\) des Dreiecks \(CDS\) verläuft durch die Spitze \(S\) und den Mittelpunkt \(M_{[CD]}\) der Strecke \([CD]\).

 

Die Koordinaten der Spitze \(S(2{,}5|2{,}5|6)\) (vgl. Angabe) lassen erkennen, dass die Pyramide \(ABCDS\) mit der quadratischen Grundfläche \(ABCD\) eine gerade Pyramide ist, deren Spitze über dem Mittelpunkt der Diagonalen des Quadrats \(ABCD\) liegt. Folglich sind die Seitenflächen der Pyramide vier kongruente gleichschenklige Dreiecke, deren Basis je eine Seite des Quadrats \(ABCD\) ist.

Die Symmetrieachse eines gleichschenkligen Dreiecks verläuft durch den Mittelpunkt der Basis. Die Symmetrieachse des gleichschenkligen Dreiecks \(CDS\) verläuft also durch den Mittelpunkt \(M_{[CD]}\) der Basis \([CD]\).

Damit lässt sich die Gleichung der Symmetrieachse \(g\) des Dreiecks \(CDS\) beispielsweise wie folgt in der Parameterform angeben:

Gleichung einer Gerade / Strecke in Parameterform

Gleichung einer Gerad / Strecke in Parameterform

Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform

\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.

Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).

Gleichung einer Strecke \([AB]\) in Parameterform:

\[\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \textcolor{#cc071e}{\lambda \in [0;1]} \]

\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S} + \lambda \cdot \overrightarrow{M_{[CD]}S}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Ortsvektor des Mittelpunkts \(M_{[CD]}\) der Strecke \([CD]\) bestimmen:

\(C(5|5|0)\), \(D(0|5|0)\) (vgl. Angabe und Teilaufgabe a)

Mittelpunkt einer Strecke

Mittelpunkt einer Strecke

Für den Ortsvektor \(\overrightarrow{M}\) des Mittelpunkts \(M\) einer Strecke \([AB]\) gilt:

\[\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right)\]

\[\overrightarrow{M_{[CD]}} = \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

Richtungsvektor der Symmetrieachse \(g\) ermitteln:

Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{M_{[CD]}S}\) (oder ein reelles Vielfaches davon) ist ein Richtungsvektor der Gleichung der Symmetrieachse \(g\) in Parameterform.

 

\[\overrightarrow{M_{[CD]}S} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{M_{[CD]}} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 2{,}5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Symmetrieachse \(g\) angeben:

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 2{,}5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Anmerkung:

Die angegebene Gleichung der Symmetrieachse \(g\) ist nicht eindeutig. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, die Gleichung der Symmetrieachse \(g\) in Parameterform anzugeben. Durch die Wahl eines anderen Aufpunkts, der die Gleichung erfüllt, und/oder durch die Wahl eines reellen Vielfachen des Richtungsvektors, entstehen weitere Gleichungen der Symmetrieachse \(g\) in Parameterform.