Acht Personen spielen nacheinander jeweils einmal das Spiel „2022".

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die SMV mehr als zweimal mindestens 4 € ausbezahlen muss.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

\[P(Z \geq 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}\]

\(Y\): Anzahl wie oft die SMV mindestens 4 € ausbezahlen muss.

\[\begin{align*}P_{\frac{1}{3}}^8(Y > 2) &= 1 - P_{\frac{1}{3}}^8(Y \leq 2) = 1 - 0{,}46822 \\[0.8em] &= 0{,}53178 \approx 53{,}2\,\%\end{align*}\]

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Acht Personen spielen nacheinander jeweils einmal das Spiel „2022"."

„Für jede Ziffer 2, die auf den erzielten Sektoren steht, werden 2 € ausbezahlt. Die Zufallsgröße \(\boldsymbol{Z}\) beschreibt, wie oft die Ziffer 2 auf den erzielten Sektoren insgesamt vorkommt." (vgl. Angabe Aufgabe 2)

Die Aufgabenstellung beschreibt eine Bernoullikette der Länge \(\textcolor{#0087c1}{n = 8}\). Die Trefferwahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die SMV muss mindestens 4 € ausbezahlen" ist mit \(\textcolor{#cc071e}{p} = \textcolor{#cc071e}{P(Z \geq 2)}\) konstant.

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.

Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.

Mithilfe der Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Z\) aus Teilaufgabe 2a ergibt sich:

\(k\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(P(Z = k)\) \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(\textcolor{#cc071e}{\dfrac{1}{4}}\) \(\textcolor{#cc071e}{\dfrac{1}{12}}\)

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{p} = \textcolor{#cc071e}{P(Z \geq 2)} &= \textcolor{#cc071e}{P(Z = 2)} + \textcolor{#cc071e}{P(Z = 3)} \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{4}} + \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{12}} \\[0.8em] &= \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{3}}\end{align*}\]

 

Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibe die Anzahl, wie oft die SMV mindestens 4 € ausbezahlen muss.

\(Y\) ist nach \(B\left(\textcolor{#0087c1}{8};\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{3}}\right)\) binomialverteilt.

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die SMV mehr als zweimal mindestens 4 € ausbezahlen muss, lässt sich durch die Betrachtung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses „höchstens zweimal mindestens 4 € ausbezahlen" auf die im Stochastischen Tafelwerk (ST) in der rechten Spalte tabellarisierte kumulative Verteilungsfunktion \(\sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(n;p;i)\) zurückführen.

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:

\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]

Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.

\[\begin{align*}P_{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{3}}}^{\textcolor{#0087c1}{8}}(\textcolor{#e9b509}{Y > 2}) &= 1 - P_{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{3}}}^{\textcolor{#0087c1}{8}}(\textcolor{#e9b509}{Y \leq 2}) \\[0.8em] &= 1 - \sum \limits_{\textcolor{#e9b509}{i \,=\,0}}^{\textcolor{#e9b509}{k\,=\,2}}B\left(\textcolor{#0087c1}{8};\textcolor{#cc071e}{\textstyle \frac{1}{3}}; i\right) &&| \; \text{rechte Spalte im ST} \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}46822 \\[0.8em] &= 0{,}53178 \approx 53{,}2\,\%\end{align*}\]