Für den beschriebenen Test ergibt sich \(\{132;133; \dots ; 200\}\) als Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:
- \(Y\): Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
- \(P_{0{,}6}^{200}(Y \geq 132) \approx 0{,}047\)
Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese geeignet.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Aus dem Lösungsschritt \(P_{0{,}6}^{200}(Y \geq 132) \approx 0{,}047\) geht nicht hervor, dass \(132\) die kleinste natürliche Zahl ist, für die \(P_{0{,}6}^{200}(Y \geq k) \leq 0{,}05\) gilt.
Geeignete Ergänzung: \(P_{0{,}6}^{200}(Y \geq 131) \approx 0{,}064 > 0{,}05\)
Somit ist \(132\) die untere Grenze des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese.
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Die Gleichung \(P_{0{,}6}^{200}(Y \geq 132) \approx 0{,}047\) formuliert die maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art als Ergebnis eines rechtsseitigen Signifikanztests. Ohne die rechnerische Durchführung des Tests ist die Gleichung aber nicht ausreichend aussagekräftig.
„... Nullhypothese „Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens 60 %." (vgl. Angabe Aufgabe 2)
\[H_0\colon p \leq \textcolor{#e9b509}{0{,}6}\]
Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn viele der 200 Abonnenten zufrieden sind.
\(\Rightarrow\) Ablehnungsbereich der Nullhypothese \(\textcolor{#cc071e}{\overline{A} = \{k; \dots ; 200\}}\), wobei \(\textcolor{#cc071e}{k}\) die zu bestimmende untere Grenze des Ablehnungsbereichs ist.
Einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\)
Ein einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\alpha\) überprüft eine Vermutung, dass eine Wahrscheinlichkeit \(p\) größer bzw. kleiner als eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(p_{0}\) ist. Dabei darf die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens den Wert des Signifikanzniveaus \(\alpha\) erreichen.
Linksseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \geq p \quad H_1 \colon p_1 < p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
Rechtsseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \leq p \quad H_1 \colon p_1 > p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{k + 1; ...; n\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \geq k +1) &\leq \alpha \\[0.8em] 1 - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha & &| - 1 \\[0.8em] - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha - 1 &&| \textcolor{red}{\cdot (-1)} \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\textcolor{red}{\geq} 1 - \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
ST: Stochastisches Tafelwerk
Rechtsseitiger Signifikanztest (Ablehnungsbereich liegt „rechts")
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens so groß sein, wie das vorgegebene Signifikanzniveau von 5 % (vgl. Angabe Aufgabe 2).
\(Y\): Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe. Die Zufallsgröße \(Y\) (Testgröße) ist nach \(B(200;\textcolor{#e9b509}{0{,}6})\) binomialverteilt.
Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer Nullhypothese aufgrund eines zufälligen Ergebnisses einer Stichprobe erfolgt, kann es zu Fehlentscheidungen kommen.
Fehler 1. Art und Fehler 2. Art
Fehler 1. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich abgelehnt.
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich angenommen bzw. nicht abgelehnt.
(vgl. Merkhilfe)
| \(H_{0}\) ist wahr | \(H_{0}\) ist falsch | |
| \(H_{0}\) wird abgelehnt | Fehler 1. Art | richtige Entscheidung |
| \(H_{0}\) wird nicht abgelehnt | richtige Entscheidung | Fehler 2. Art |
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\alpha'}\) für den Fehler 1. Art
\[\alpha' = P(\text{Fehler 1. Art}) = P^{n}_{p_0} (X \in \overline{A})\]
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\beta'}\) für den Fehler 2. Art
\[\beta' = P(\text{Fehler 2. Art}) = P^n_{p_{1}} (X \in A)\]
Wobei \(A\) der Annahmebereich und \(\overline{A}\) der Ablehnungsbereich der Nullhypothese \(H_0\) ist. \(H_{1}\) bezeichnet die Gegenhypothese.
\[\begin{align*} P(\text{Fehler 1. Art}) &\textcolor{#0087c1}{\leq} \textcolor{#0087c1}{0{,}05} &&| \;H_0\;\textcolor{#cc071e}{\text{wird abgelehnt}}\text{,}\;\textcolor{#e9b509}{\text{obwohl sie zutrifft}} \\[0.8em] P_{\textcolor{#e9b509}{0{,}6}}^{n}(Y \in \textcolor{#cc071e}{\overline{A}}) &\textcolor{#0087c1}{\leq} \textcolor{#0087c1}{0{,}05} &&|\; \textcolor{#cc071e}{\overline{A} = \{k; \dots ; 200\}} \\[0.8em] P_{\textcolor{#e9b509}{0{,}6}}^{200}(Y \textcolor{#cc071e}{\geq k}) &\textcolor{#0087c1}{\leq} \textcolor{#0087c1}{0{,}05} &&|\; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}6}^{200}(Y \leq k - 1) &\leq 0{,}05 &&| - 1 \\[0.8em] - P_{0{,}6}^{200}(Y \leq k - 1) &\leq -0{,}95 &&| \cdot (-1)\; \text{Relationszeichen dreht sich} \\[0.8em] P_{0{,}6}^{200}(Y \leq k - 1) &\geq 0{,}95 &&| \; \text{Tafelwerk (TW) verwenden} \end{align*}\]
\(\overset{\text{TW}}{\Rightarrow} k - 1 = 131\) mit \(P_{0{,}6}^{200}(Y \leq 131) = 0{,}95252\)
Damit ist \(\textcolor{#cc071e}{k = 132}\) die untere Grenze des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese, also \(\textcolor{#cc071e}{\overline{A} = \{132; 133; \dots ; 200\}}\).
Maximale Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art:
\[\begin{align*}P_{\textcolor{#e9b509}{0{,}6}}^{200}(Y \textcolor{#cc071e}{\geq 132}) &= 1 - P_{0{,}6}^{200}(Y \leq 131) \\[0.8em] &= 1- 0{,}95252 \\[0.8em] &\approx 0{,}047 \quad \text{(vgl. Angabe)}\end{align*}\]
Mit der Durchführung des Signifikantestes wird die untere Grenze des Ablehnungsbereichs nachvollziehbar bestimmt. Dagegen benötigt der in der Angabe genannte Lösungsschritt \(P_{0{,}6}^{200}(Y \geq 132) \approx 0{,}047\) die Ergänzung \(P_{0{,}6}^{200}(Y \geq 131) \approx 0{,}064 > 0{,}05\).
