Aus den neu zugelassenen Pkw mit Elektromotor werden 40 Fahrzeuge zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybride befinden.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1e
Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \dfrac{0{,}25}{0{,}25 + 0{,}65} = \dfrac{5}{18}\)
\[\begin{align*}P(X = 10) &= B\Big(40;\small \frac{5}{18}\normalsize;10\Big) \\[0.8em] &= \binom{40}{10} \cdot \left( \frac{5}{18} \right)^{10} \cdot \left( \frac{13}{18} \right)^{30} \\[0.8em] &\approx 0{,}133 = 13{,}3\,\%\end{align*}\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Da das Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen" verwendet wird (vgl. Angabe Aufgabe 1), kann die Auswahl der Fahrzeuge als Bernoulli-Kette der Länge \(\textcolor{#0087c1}{n = 40}\) aufgefasst werden. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(\textcolor{#cc071e}{p}\) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, mit der unter den Pkw mit Elektromotor (Bedingung) ein Plug-in-Hybride ausgewählt wird.
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#cc071e}{p} = P_{\text{EM}}(\text{Hybride}) = \frac{0{,}25}{0{,}25 + 0{,}65} \textcolor{#cc071e}{= \frac{5}{18}}\]
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Plug-in-Hybride unter den 40 ausgewählten Pkw mit Elektromotor beschreibt.
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B\big(\textcolor{#0087c1}{40};\textcolor{#cc071e}{\frac{5}{18}}\big)\) binomialverteilt.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
\[\begin{align*}P(\textcolor{#e9b509}{X = 10}) &= B\Big(\textcolor{#0087c1}{40};\small \textcolor{#cc071e}{\frac{5}{18}}\normalsize;\textcolor{#e9b509}{10}\Big) \\[0.8em] &= \binom{\textcolor{#0087c1}{40}}{\textcolor{#e9b509}{10}} \cdot \left( \textcolor{#cc071e}{\frac{5}{18}} \right)^{\textcolor{#e9b509}{10}} \cdot \left( 1 - \textcolor{#cc071e}{\frac{5}{18}} \right)^{\textcolor{#0087c1}{40}\, -\, \textcolor{#e9b509}{10}}\\[0.8em] &= \binom{40}{10} \cdot \left( \frac{5}{18} \right)^{10} \cdot \left( \frac{13}{18} \right)^{30} \\[0.8em] &\approx 0{,}133 = 13{,}3\,\%\end{align*}\]
