Allgemein gilt für eine Zufallsgröße \(X\) mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) folgende Ungleichung für \(k > 0\):

\[P(\mu - k \cdot \sigma < X < \mu + k \cdot \sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}\]

Erläutern Sie die Aussage dieser Ungleichung für \(k = 2\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

\[P(\mu - k \cdot \sigma < X < \mu + k \cdot \sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}; \; k > 0\]

Für \(k = 2\) folgt:

\[P(\mu - 2 \cdot \sigma < X < \mu + 2 \cdot \sigma) \geq 1 - \frac{1}{2^2}\]

\[P(\textcolor{#e9b509}{\mu - 2\sigma} \textcolor{#cc071e}{<} \textcolor{#0087c1}{X} \textcolor{#cc071e}{<} \textcolor{#e9b509}{\mu + 2\sigma}) \textcolor{#89ba17}{\geq} \textcolor{#89ba17}{0{,}75}\]

Mögliche Erläuterungen der Aussage sind beispielsweise:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsgröße um weniger als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht, beträgt mindestens 75 %.

oder

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsgröße innerhalb der doppelten Standardabweichung um den Erwartungswert liegt, beträgt mindestens 75 %.