Betrachtet wird die in \(]-3;+\infty[\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{-2}^x f(t) dt\).
Begründen Sie, dass die in \(]-3;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \ln{(x+3)}\) für \(x > -3\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Zeigen Sie damit, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,-3} J(x) = -\infty\) gilt, und deuten Sie diese Aussage geometrisch.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1f
\[J(x) = \int_{-2}^x f(t)dt; \; D_J=\; ]-3;+\infty[\]
Nachweis, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist
Es ist zu zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt (vgl. Angabe Aufgabe 1). Hierfür wird u. a. die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion und die Kettenregel benötigt.
Stammfunktion
Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn
\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)
gilt.
\[F(x) = \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \textcolor{#0087c1}{\ln{(\textcolor{#cc071e}{x+3})}}; \; D_F = \; ]-3;+\infty[\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*}F'(x) &= \frac{1}{2} \cdot 2x - 3 + 5 \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{\textcolor{#cc071e}{x+3}}} \cdot \textcolor{#cc071e}{1} \\[0.8em] &= x-3+\frac{5}{x+3} \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]
Somit ist die Funktion \(F \colon x \mapsto \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \ln{(x+3)}\) für \(x > -3\) eine Stammfunktion von \(f\).
Nachweis, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,-3} J(x) = -\infty\) gilt
Mithilfe der Stammfunktion \(F \colon x \mapsto \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \ln{(x+3)}\) von \(f\) lässt sich die Integralfunktion \(\displaystyle J(x) = \int_{-2}^x f(t)dt\) integralfrei darstellen.
Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion
Es gilt:
\(\displaystyle I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F(x) - F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
\[\begin{align*}J(x) &= \int_{-2}^x f(t)dt = F(x) - F(-2) \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \ln{(x+3)} - \left( \frac{1}{2}(-2)^2 -3 \cdot (-2) + 5 \cdot \ln{(-2+3)} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \ln{(x+3)} - \big( 2 + 6 + 5 \cdot \underbrace{\ln{1}}_{0} \big) \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \ln{(x+3)} - 8\end{align*}\]
Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,-3} J(x)\) durchführen:
\[\lim \limits_{x\,\to\,-3} J(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-3} \Big(\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\frac{1}{2}x^2 -3x}_{\to\,13{,}5}} + 5 \cdot \textcolor{#0087c1}{\overbrace{\ln{(\textcolor{#cc071e}{\underbrace{x+3}_{\to\,0^+}})}}^{\to\,-\infty}} - 8\Big) = \textcolor{#0087c1}{-\infty}\]
Oder etwas kürzer formuliert:
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,-3} J(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,-3} \left( F(x) - F(-2)\right) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-3} \Big(\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\frac{1}{2}x^2 -3x}_{\to\,13{,}5}} + 5 \cdot \textcolor{#0087c1}{\overbrace{\ln{(\textcolor{#cc071e}{\underbrace{x+3}_{\to\,0^+}})}}^{\to\,-\infty}} - F(-2)\Big) \\[0.8em] &= \textcolor{#0087c1}{-\infty}\end{align*}\]
Der exakte Funktionswert \(F(-2)\) ist wegen \(\lim \limits_{x\,\to\,-3} \textcolor{#0087c1}{\ln{(\textcolor{#cc071e}{\underbrace{x+3}_{\to\,0^+}})}} = \textcolor{#0087c1}{-\infty}\) für die Grenzwertbetrachtung nicht von Bedeutung.
Geometrische Bedeutung des Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,-3} J(x) = -\infty\)
\[J(x) = \int_{-2}^x f(t)dt; \; D_J=\; ]-3;+\infty[\]
Das ins Unendliche reichende Flächenstück, das \(G\), die \(x\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = -3\) (senkrechte Asymptote, vgl. Teilaufgabe 1a) im II. Quadranten begrenzen, hat keinen endlichen Flächeninhalt.
ergänzende Skizze
Anmerkung
Zwar liegt das Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse, da aber mit \(x \to -3\) „nach links" integriert wird (obere Integrationsgrenze kleiner als untere), zählt der Inhalt negativ. Daher \(\lim \limits_{x\,\to\,-3} J(x) = \boldsymbol{-\infty}\)
