Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion \(K \colon x \mapsto x^{3} - 12x^{2} + 50x + 20\) mit \(x \in [0;9]\) beschrieben werden. Dabei gibt \(K(x)\) die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von \(x\) Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von \(K\).

Abb. 2

Geben Sie mithilfe von Abbildung 2

α)  die Produktionsmenge an, bei der die Kosten 125 000 Euro betragen.

β)  das Monotonieverhalten von \(K\) an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

\[K(x) = x^{3} - 12x^{2} + 50x +20; \; x \in [0;9]\]

α) Produktionsmenge, bei der die Kosten 125 000 Euro betragen

Gemäß Abbildung 2 gilt: \(K(7) \approx 125\).

Bei einer Produktionsmenge von ca. 7 Kubikmeter der Flüssigkeit betragen die Kosten 125 000 Euro.

β) Monotonieverhalten von \(K\) und Bedeutung im Sachzusammenhang

Aus Abbildung 2 ist ersichtlich, dass die Funktion \(K\) ist für \(x \in [0;9]\) streng monoton steigt.

Bedeutung im Sachzusammenhang: Die Kosten nehmen mit der Menge an produzierter Flüssigkeit zu.