Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der zehn Kandidaten keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Zufallsgröße \(K \colon \enspace\) "Anzahl der Kandidaten, die keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen müssen"

 

Analyse der Angabe:

 

"... der zehn Kandidaten ..."

\(\Longrightarrow \quad n = 10\)

 

"... keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."

\(\Longrightarrow \quad p = P(X = 0) = \frac{1}{9}\,\) (siehe Teilaufgabe 3b)

 

"... Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der zehn Kandidaten ..."

\(\Longrightarrow \quad K = 1\)

 

Die Zufallsgröße \(K\) ist nach \(B(10;\frac{1}{9})\) binomialverteilt.

Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{9}\,\). Die Wahrscheinlichkeit \(P^{10}_{\frac{1}{9}}(K = 1)\) muss errechnet werden.

 

Anwenden der Formel von Bernoulli:

Formel von Bernoulli

Formel von Bernoulli

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:

\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]

\[\begin{align*}P^{10}_{\frac{1}{9}}(K = 1) &= B(10; \frac{1}{9}; 1) \\[0.8em] &= \binom{10}{1} \cdot \left( \frac{1}{9} \right)^1 \cdot \left(1 - \frac{1}{9} \right)^{10 - 1} \\[0.8em] &= 10 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left( \frac{8}{9} \right)^9 \\[0.8em] &\approx 0{,}385 = 38{,}5\,\%\end{align*}\]

 

Binomialverteilung B(10;1/9;k): Wahrscheinlichkeit P(K = 1)