Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\).
(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\))
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}\]
\[D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\} = \;]-\infty;-2[\; \cup \; ]-2;2[\; \cup\; ]2;+\infty[\]
Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\)
Gemäß dem Monotoniekriterium lässt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) auf das Monotonieverhalten von \(f\) schließen.
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Erste Ableitung \(f'\) bilden:
Die gebrochenrationale Funktion \(f\) lässt sich mithilfe der Quotientenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten
\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{6x}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2} - 4}}\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{6} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x^{2} - 4)} - \textcolor{#0087c1}{6x} \cdot \textcolor{#cc071e}{(2x - 0)}}{(\textcolor{#cc071e}{x^{2} - 4})^{2}} \\[0.8em] &= \frac{6x^{2} - 24 - 12x^{2}}{(x^{2} - 4)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{-6x^{2} - 24}{(x^{2} - 4)^{2}} \\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{-}\frac{\textcolor{#e9b509}{\overbrace{\textcolor{#333333}{6(x^{2} + 4)}}^{>\;0}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\textcolor{#333333}{(x^{2} - 4)^{2}}}_{>\,0}}} \textcolor{#e9b509}{<} 0 \end{align*}\]
Für alle \(x \in \mathbb R \backslash \{-2;2\}\) gilt \(\textcolor{#e9b509}{f'(x) < 0}\). Somit ist \(G_{f}\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) jeweils streng monoton fallend.
Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\)
Die erste Ableitung \(f'\) an der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x = 0}\) beschreibt die Steigung \(m\) der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((\textcolor{#e9b509}{0}|f(0))\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[f'(x) = -\frac{6(x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\]
\[m = f'(\textcolor{#e9b509}{0}) = -\frac{6(\textcolor{#e9b509}{0}^{2} + 4)}{(\textcolor{#e9b509}{0}^{2} - 4)^{2}} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2} = -1{,}5\]
