Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte. Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Die Aussage vergleicht die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_{\overline{N}}(V)\) und \(P_{\overline{N}}(\overline{V})\).
Bei der Betrachtung eines zweistufigen Zufallsexperiments mit den Ereignissen \(A\) und \(B\) müssen zwei Fälle sorgfältig unterschieden werden.
1. Die Ereignisse \(A\) und \(B\) treten zugleich ein (\(A \cap B\)).
2. Das Ereignis \(B\) tritt unter der Bedingung ein, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_A(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \enspace (P(A) \neq 0)\)
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten werden bei einem Baumdiagramm an den Pfaden der zweiten Stufe (und ggf. höher) angetragen.
An den Enden der Pfade stehen die Wahrscheinlichkeiten für das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse.
Nach der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) gilt beispielsweise:
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P(A)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_A(B)} &= \textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)} \\[0.8em] \Leftrightarrow \textcolor{#0087c1}{P_A(B)} &= \dfrac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(A)}}\end{align*}\]
Analog gilt für ein Baumdiagramm, das mit den Ereignissen \(B\) und \(\overline{B}\) beginnt, mithilfe der 1. und 2. Pfadregel:
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P(B)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)} \\ \Leftrightarrow \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(B)}} \\\textcolor{#0087c1}{P_B(A)} &= \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}+ \textcolor{#89ba17}{P(\overline{A} \cap B)}}\end{align*}\]
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(A\) | \(\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}\) | \(P(A \cap \overline{B})\) | \(\textcolor{#e9b509}{P(A)}\) |
| \(\overline{A}\) | \(P(\overline{A} \cap B)\) | \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) | \(P(\overline{A})\) |
| \(\textcolor{#e9b509}{P(B)}\) | \(P(\overline{B})\) | \(1\) |
\[\textcolor{#0087c1}{P_A(B)} = \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(A)}} \qquad \textcolor{#0087c1}{P_B(A)} = \frac{\textcolor{#cc071e}{P(A \cap B)}}{\textcolor{#e9b509}{P(B)}}\]
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich bei einer Vierfeldertafel als Quotient aus dem Eintrag einer inneren Zelle und dem Eintrag einer Randzelle.
Mithilfe des Baumdiagramms aus Teilaufgabe 2a ergibt sich:
\[\begin{align*} P_{\overline{N}}(V) &= 8 \cdot P_{\overline{N}}(\overline{V}) \\[0.8em] \frac{P(V \cap \overline{N})}{P(\overline{N})} &= 8 \cdot \frac{P(\overline{V} \cap \overline{N})}{P(\overline{N})} &&| \cdot P(\overline{N}) \\[0.8em] P(V \cap \overline{N}) &= 8 \cdot P(\overline{V} \cap \overline{N}) &&| \; \text{1. Pfadregel} \\[0.8em] 0{,}8 \cdot 0{,}1 &= 8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}05 \\[0.8em] 0{,}08 &= 0{,}08 &&\text{(w)} \end{align*}\]
Die Aussage ist richtig.
