Badminton wird auf einem rechteckigen Spielfeld gespielt, das 13,40 m lang ist. Dabei wird ein Federball über ein 1,55 m hohes Netzt geschlagen (vgl. Abbildung).
Im Folgenden werden Flugbahnen von Federbällen, die von Hälfte A in Hälfte B des Spielfelds geschlagen werden, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben. Vereinfachend werden nur Flugbahnen betrachtet, die innerhalb einer Ebene verlaufen, die senkrecht zum horizontalen Boden und parallel zur Seitenlinie des Spielfelds ist. Das im Modell verwendete Koordinatensystem liegt in dieser Ebene, wobei die \(x\)-Achse den Boden und der Punkt \(N(0|1{,}55)\) die horizontal verlaufende Oberkante des Netzes beschreibt. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
Die in \(]-\infty;6]\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}25 \cdot (x+6) \cdot \sqrt{6-x}\) beschreibt für \(-5 \leq x \leq 6\) die Flugbahn bei einem bestimmten Schlag.
Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|1{,}5\sqrt{6})\)
Interpretation im Sachzusammenhang:
Der Federball überquert das Netz in einer Höhe von etwa 3,67 m über dem Boden.
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
\[f(x) = 0{,}25 \cdot (x+6) \cdot \sqrt{6-x}; D_f=\;]-\infty;6]\]
Die \(y\)-Koordinate des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse wird mit \(y = f(\textcolor{#cc071e}{0})\) berechnet.
\[f(\textcolor{#cc071e}{0}) = 0{,}25 \cdot (\textcolor{#cc071e}{0} + 6) \cdot \sqrt{(6 - \textcolor{#cc071e}{0}} = \textcolor{#cc071e}{1{,}5\sqrt{6}} \approx 3{,}67\]
\[\Rightarrow \; S_y(\textcolor{#cc071e}{0}|\textcolor{#cc071e}{1{,}5\sqrt{6}})\]
Der Punkt \(N(0|1{,}55)\) liegt im Modell auf der \(y\)-Achse und beschreibt die horizontal verlaufende Oberkante des Netzes (vgl. Angabe). Die \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Koordinate des Schnittpunkts \((0|\textcolor{#cc071e}{1{,}5\sqrt{6}})\) des Graphen von \(f\) mit der \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Achse bedeutet demnach, dass der Federball das Netz in einer Höhe von \(1{,}5\sqrt{6} \approx 3{,}67\,\textsf{m}\) über dem Boden überquert.
