Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen \(X\) und \(Y\):
- Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. \(X\) gibt die dabei erzielte Augensumme an.
- Aus einem Behälter mit 60 schwarzen und 40 weißen Kugeln wird zwölfmal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. \(Y\) gibt die Anzahl der entnommenen schwarzen Kugeln an.
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 4)\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(X = 10)\) übereinstimmt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Da die Ereignisse „Augenzahl ist vier" und „Augenzahl ist zehn" jeweils aus drei Ergebnissen von insgesamt 36 möglichen Ergebnissen bestehen und alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind (Laplace-Experiment), stimmen die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 4)\) und \(P(X = 10)\) überein.
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Zufallsgröße \(X\): Augensumme, die beim zweimaligen Werfen eines Würfels erzielt wird, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind.
Ergebnisse des Ereignisses „Augensumme ist vier.":
\[\text{„Augensumme ist vier"}\;= \{\textcolor{#0087c1}{(1;3)}, \textcolor{#0087c1}{(2;2)}, \textcolor{#0087c1}{(3;1)}\}\]
\[\vert \text{„Augensumme ist vier"}\vert = \textcolor{#0087c1}{3}\]
Ergebnisse des Ereignisses „Augensumme ist zehn.":
\[\text{„Augensumme ist zehn"}\;= \{\textcolor{#0087c1}{(4;6)}, \textcolor{#0087c1}{(5;5)}, \textcolor{#0087c1}{(6;4)}\}\]
\[\vert \text{„Augensumme ist zehn"}\vert = \textcolor{#0087c1}{3}\]
Ergebnisraum des Zufallsexperiments:
\[\Omega = \{(1;1), (1;2), \dots, (2;1), \dots, (6;6)\}\]
\[\vert \Omega \vert = 36\]
Da alle 36 Ergebnisse \(\{(1;1), (1;2), \dots, (2;1), \dots, (6;6)\}\) mit \(\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}\) gleichwahrscheinlich sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment.
Die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 4)\) und \(P(X = 10)\) lassen sich wie folgt berechnen:
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
\[P(X = 4) = \frac{\vert \text{„Augensumme ist vier"} \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\textcolor{#0087c1}{3}}{36} = \frac{1}{12}\]
\[P(X = 10) = \frac{\vert \text{„Augensumme ist zehn"} \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\textcolor{#0087c1}{3}}{36} = \frac{1}{12}\]
Somit stimmen die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 4)\) und \(P(X = 10)\) überein.