Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht.

Stammfunktion von \(f\)

 

Anmerkung:

Es ist lediglich eine Stammfunktion von \(f\) anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

\[f(x) = 3x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\]

Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

Jede differenzierbare Funktion \(F\) mit \(D_{F} = D_{f}\) für die \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist eine Stammfunktion von \(f\).

Die Funktion \(f\) besitzt den maximalen Definitionsbereich \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

Man erhält den Funktionsterm \(F(x)\) einer Stammfunktion von \(f\) durch „Aufleiten" des Funktionsterms \(f(x)\). Unter Berücksichtigung der Ableitung einer Potenzfunktion und der Summenregel ergibt sich eine Stammfunktion von \(f\) zu:

 

\[F(x) = x^{3} - \frac{1}{x}; D_{F} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Erläuterung - „Aufleiten" von \(f(x)\):

Zunächst wird der Funktionsterm \(f(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}; \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) vollständig in der Potenzschreibweise beschrieben.

 

\[\begin{align*}f(x) &= 3x^{2} + \frac{1}{x^{2}} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 3x^{2} + x^{-2} \end{align*}\]

 

Der Funktionsterm \(f(x)\) ist eine Summe zweier Potenzterme. Gemäß der Summenregel sind die Potenzeterme \(3x^{2}\) und \(x^{-2}\) das Ergebnis separater Ableitungen zweier Potenzterme von \(F(x)\).

Entsprechend der Ableitung einer Potenzfunktion entsteht der Potenzterm \(3x^{2}\) durch das Ableiten der Potenz \(x^{2 + 1} = x^{3}\) und der Potenzterm \(x^{-2}\) durch das Ableiten der Potenz \(x^{-2 + 1} = x^{-1}\). Da jedoch \(\left( x^{-1} \right)' = (-1) \cdot x^{-2} = -x^{-2}\) ist, muss der Faktor \(-1\) korrigierend zur Potenz \(x^{-1}\) hinzu gefügt werden.

 

\[\Longrightarrow \quad F(x) = x^{3} + (-1) \cdot x^{-1} = x^{3} - \frac{1}{x}\]

 

Nachweis (Probe):

Ableitungregeln

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

Faktorregel

\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[F'(x) = \left( x^{3} -x^{-1} \right)' = 3 \cdot x^{2} - (-1) \cdot x^{-2} = 3x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = f(x)\]

 

Die Funktion \(F \colon x \mapsto x^{3} - \dfrac{1}{x}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} +\dfrac{1}{x^{2}}\) mit \(D_{F} = D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

 

Erläuterung des Begriffs „Stammfunktion"

Jede differenzierbare Funktion \(F\) mit \(D_{F} = D_{f}\) für die \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist eine Stammfunktion von \(f\).

Die Funktionsterme \(F(x)\) der Menge aller Stammfunktionen einer Funktion \(f\) unterscheiden sich durch den Wert einer additiven Konstante \(C\) mit \(C \in \mathbb R\), deren Ableitung stets gleich Null ist.