Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).
(Teilergebniss: \(x\)-Koordinate des Extrempunkts: \(\ln 4\))
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Lage und Art des Extrempunkts des Graphen einer Funktion bestimmen
\[f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right); \; D_{f} = \mathbb R\]
\(f'(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 1 - 4e^{-x} \right)\) (vgl. Teilaufgabe 1a)
Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\)
An der Extremstelle besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Tangentensteigung ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\).
Folglich lautet die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\):
Anwendung der Differentialrechnung:
Extrempunkte
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.
(vgl. Merkhilfe)
\[f'(x) = 0\]
Der Funktionsterm f'(x) ist bereits aus Teilaufgabe 1a bekannt.
\[f'(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 1 - 4e^{-x} \right)\]
Nullstelle von \(f'\) bestimmen:
\[\begin{align*} f'(x) &= 0 \\[0.8em] \underbrace{2e^{-x}}_{> \, 0} \cdot \left( 1 - 4e^{-x} \right) &= 0 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad 1 - 4e^{-x} = 0\]
Die Exponentialgleichung lässt sich nach elementarer Umformung durch Logarithmieren und mithilfe von Rechenregeln für Logarithmen lösen.
Anmerkung:
Ein Logarithmieren ohne vorherige Umformung ist nicht zielführend, da der Logarithmus von Null nicht definiert ist. Abgesehen davon löst der Logarithmus der Differenz \(1 - 4e^{-x}\) den Exponentialterm \(e^{-x}\) nicht auf.
\[\begin{align*} 1 - 4e^{-x} &= 0 & &| + 4e^{-x} \\[0.8em] 1 &= 4e^{-x} & &| \; \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{1} &= \ln\left( 4e^{-x} \right) & &| \; \log_{a}{1} = 0; \; \log_{a}(b \cdot c) = \log_{a}{b} + \log_{a}{c} \\[0.8em] 0 &= \ln{4} + \ln\left( e^{-x} \right) & &| \; \ln\left( e^{x} \right) = x \; \left( \text{allg.:}\; \log_{a}\left( a^{x} \right) = x \right) \\[0.8em] 0 &= \ln{4} - x & &| + x \\[0.8em] x &= \ln{4} \end{align*}\]
oder
\[\begin{align*} 1 - 4e^{-x} &= 0 & &| + 4e^{-x} \\[0.8em] 1 &= 4e^{-x} & &| : 4 \\[0.8em] \frac{1}{4} &= e^{-x} & &| \; \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln\left( \frac{1}{4} \right) &= \ln\left( e^{-x} \right) & &| \; \ln\left( e^{x} \right) = x \; \left( \text{allg.:}\; \log_{a}\left( a^{x} \right) = x \right); \; \frac{1}{a^{n}} = a^{-n} \\[0.8em] \ln\left( 4^{-1} \right) &= -x & &| \; \log_{a}\left( b^{n} \right) = n \cdot \log_{a}{b} \\[0.8em] -\ln{4} &= -x & &| \cdot (-1) \\[0.8em] \ln{4} &= x \end{align*}\]
\(x = \ln{4}\) ist einzige (mögliche) Extremstelle der Funktion \(f\) (vgl. Angabe, Teilergebnis)
Anmerkung:
Grundsätzlich weist die Aussage \(f'(\ln{4}) = 0\) lediglich auf eine waagrechte Tangente an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = \ln{4}\) und damit auf einen Extrem- oder Terrassenpunkt hin. In diesem Fall bestätigt das Teilergebnis sowie Abbildung 1 der Angabe allerdings die Existenz eines Extrempunkts.
\(y\)-Koordinate des Extrempunkts von \(G_{f}\) berechnen:
\[f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right)\]
\[\begin{align*} f(\ln{4}) &= 2e^{-\ln{4}} \cdot \left( 2e^{-\ln{4}} - 1 \right) & &| \; n \cdot \log_{a}{b} = \log_{a}\left( b^{n} \right) \\[0.8em] &= 2e^{\ln\big(4^{-1}\big)} \cdot \left( 2e^{\ln\big(4^{-1}\big)} - 1 \right) & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 2e^{\ln\left( \frac{1}{4} \right)} \cdot \left( 2e^{\ln\left( \frac{1}{4} \right)} - 1 \right) & &| \; e^{\ln{x}} = x \; \left( \text{allg.:}\; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \\[0.8em] &= -\frac{1}{4} \end{align*}\]
Der Punkt \(\left( \ln{4} \Big|-\frac{1}{4}\right)\) ist einziger (möglicher) Extrempunkt des Graphen der Funktion \(f\).
Art des Extrempunkts von \(G_{f}\)
Die Art des Extrempunkts von \(G_{f}\) lässt sich mithilfe des Monotoniekriteriums bzw. einer Monotonietabelle oder mithilfe der zweiten Ableitung \(f''\) von \(f\) nachweisen.
1. Möglichkeit: Monotoniekriterium bzw. Monotonietabelle
Es wird der Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) bzw. das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) in der Umgebung der Extremstelle \(x = \ln{4}\) untersucht.
\(f'(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 1 - 4e^{-x} \right)\) (vgl. Teilaufgabe 1a)
Um den Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) möglichst aussagekräftig dokumentieren und beurteilen zu können, ist es zweckmäßig, den Funktionsterm geeignet umzuformen.
\[\begin{align*}f'(x) &= 2e^{-x} \cdot \left( 1 - 4e^{-x} \right) & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \underbrace{2e^{-x}}_{>\,0} \cdot \left( 1 - \frac{4}{e^{x}} \right) \end{align*}\]
Der Faktor \(\left( 1 - \dfrac{4}{e^{x}} \right)\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\). In der Umgebung der Extremstelle \(x = \ln{4}\) ist der Wert des Terms \(\dfrac{4}{e^{x}}\) etwas größer bzw. etwas kleiner als Eins.
Beispielsweise ergibt sich für \(\ln{3} < \ln{4}\) mit \(\dfrac{4}{e^{\ln{3}}} = \dfrac{4}{3}\) und \(\left( 1 - \dfrac{4}{3} \right) < 0\) ein negatives Vorzeichen von \(f'(x)\) und für \(\ln{4} < \ln{5}\) mit \(\dfrac{4}{e^{\ln{5}}} = \dfrac{4}{5}\) und \(\left( 1 - \dfrac{4}{5} \right) > 0\) ein positives Vorzeichen von \(f'(x)\).
Auf diese Weise wird der Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) an der Stelle \(x = \ln{4}\) nachvollziehbar dokumentiert.
Anwendung der Differentialrechnung:
Extrempunkte
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.
(vgl. Merkhilfe)
\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \; \text{für} \; x < \ln{4} \\[0.8em] &f'(\ln{4}) = 0 \\[0.8em] &f'(x) > 0 \; \text{für} \; x > \ln{4} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}\; TiP \left( \ln{4} \bigg|-\frac{1}{4}\right) \]
Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\[f'(x) = \underbrace{2e^{-x}}_{>\,0} \cdot \left( 1 - \frac{4}{e^{x}} \right)\]
| \(x\) | \(x < \ln{4}\) | \(x = \ln{4}\) | \(x > \ln{4}\) |
| \(2e^{-x}\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(1 - \dfrac{4}{e^{x}}\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(G_{f}\) | \(\searrow\) | \(TiP \left( \ln{4} \bigg|-\dfrac{1}{4}\right)\) | \(\nearrow\) |
2. Möglichkeit: Nachweis der Art des Extrempunkts mithilfe der zweiten Ableitung
Da der Wert der zweiten Ableitung einer Funktion an einer Extremstelle eine Aussage über das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion zulässt, kann die Art eines Extrempunkts mithilfe der zweiten Ableitung nachgewiesen werden.
Anwendung der Differentialrechnung:
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).
Zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) bilden:
Die zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) lässt sich mit der Produktregel oder nach Umformung des Funktionsterms \(f'(x)\) auch ohne die Produktregel formulieren. Zudem wird die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, die Kettenregel sowie die Summen- und die Faktorregel benötigt.
\(f'(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 1 - 4e^{-x} \right) = 2e^{-x} - 8e^{-2x}\) (vgl. Teilaufgabe 1a)
Mit Produktregel:
\[f'(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 1 - 4e^{-x} \right)\]
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} f''(x) &= 2e^{-x} \cdot (-1) \cdot \left( 1 - 4e^{-x} \right) + 2e^{-x} \cdot \left( 0 - 4e^{-x} \cdot (-1) \right) & &| \; \text{Faktor} \; 2e^{-x} \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= 2e^{-x} \cdot \left( -1 + 4e^{-x} + 4e^{-x} \right) \\[0.8em] &= 2e^{-x} \cdot \left( 8e^{-x} - 1 \right) \end{align*}\]
Ohne Produktregel:
\[f'(x) = 2e^{-x} - 8e^{-2x}\]
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} f''(x) &= 2e^{-x} \cdot (-1) - 8e^{-2x} \cdot (-2) \\[0.8em] &= -2e^{-x} + 16e^{-2x} & &| \; \text{Faktor} \; 2e^{-x}\; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= 2e^{-x} \cdot \left( 8e^{-x} - 1 \right) \end{align*}\]
Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Extremstelle \(x = \ln{4}\) bestimmen:
\[f''(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 8e^{-x} - 1 \right)\]
\[\begin{align*} f''(\ln{4}) &= 2e^{-\ln{4}} \cdot \left( 8e^{-\ln{4}} - 1 \right) & &| \; n \cdot \log_{a}{b} = \log_{a}\left( b^{n} \right) \\[0.8em] &= 2e^{\ln{(4^{-1})}} \cdot \left( 8e^{\ln{(4^{-1})}} - 1 \right) & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 2e^{\ln\left( \frac{1}{4} \right)} \cdot \left( 8e^{\ln\left( \frac{1}{4} \right)} - 1 \right) & &| \; e^{\ln{x}} = x \; \left( \text{allg.:} \; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( 8 \cdot \frac{1}{4} - 1 \right) \\[0.8em] &= 0{,}5 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad f''(\ln{4}) > 0\]
Anwendung der Differentialrechnung:
Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen
\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.
\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.
(vgl. Merkhilfe)
\(G_{f}\) ist demnach an der Stelle \(x = \ln{4}\) linksgekrümmt, was auf einen Tiefpunkt schließen lässt.
Anwendung der Differentialrechnung:
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).
\[\left. \begin{align*} &f'(\ln{4}) = 0 \\[0.8em] &f''(\ln{4}) > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}\; TiP \left( \ln{4} \bigg|-\frac{1}{4}\right)\]
