An einem Teil der südlichen Außenwand sind Solarmodule flächenbündig montiert. Die Solarmodule bedecken im Modell eine dreieckige Fläche, deren Eckpunkte die Spitze $S$ sowie die Mittelpunkte der Kanten $[SB]$ und $[SC]$ sind.

Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

1. Lösungsansatz: Zweiter Strahlensatz

2. Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodunkts (Flächeninhalt eines Parallelogramms/Dreiecks)

3. Lösungsansatz: Trigonometrische Flächenberechnung

 

1. Lösungsansatz: Zweiter Strahlensatz

 

Dreieck $BCS$ mit Höhe $h_1$ und Dreieck $M_{SB}{M}_{SC}S$ mit Höhe $h_2$

 

Flächeninhalt des Dreiecks $M_{SB}{M}_{SC}S$:

 

$$A_{M_{SB}{M}_{SC}S}=\frac{1}{2}\cdot \overline{M_{SB}{M}_{SC}}\cdot h_2$$

 

Die Länge der Strecke $[M_{SB}{M}_{SC}]$ und die Länge der Höhe $h_2$ lässt sich mithilfe des zweiten Strahlensatzes berechen.

 

Länge der Strecke $[M_{SB}{M}_{SC}]$ berechnen:

$$\frac{\overline{S{M}_{SB}}}{\overline{SB}}=\frac{\overline{M_{SB}{M}_{SC}}}{\overline{BC}}=\frac{1}{2}$$

$$⟹\overline{M_{SB}{M}_{SC}}=\frac{1}{2}\cdot \overline{BC}=\frac{1}{2}\cdot 12=6$$

 

Länge der Höhe $h_2$ berechnen:

$$\frac{h_2}{h_1}=\frac{\overline{M_{SB}{M}_{SC}}}{\overline{BC}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$

$$⟹h_2=\frac{1}{2}\cdot h_1$$

 

Länge der Höhe $h_1$ berechnen:

 

Im rechtwinkligen Dreieck $SM{M}_{BC}$ gilt nach dem Satz des Pythagoras:

$$\begin{array}{rlrl}{h_1}^2& ={\overline{MS}}^2+{\overline{M{M}_{BC}}}^2& & |\sqrt{}\\ h_1& =\sqrt{{\overline{MS}}^2+{\overline{M{M}_{BC}}}^2}\\ & =\sqrt{8^2+6^2}\\ & =10\end{array}$$

 

$$⟹h_2=\frac{1}{2}\cdot h_1=\frac{1}{2}\cdot 10=5$$

 

Flächeninhalt $A_{M_{SB}{M}_{SC}S}$ des Dreiecks $M_{SB}{M}_{SC}S$ berechnen:

 

$$\begin{array}{rl}{A}_{M_{SB}{M}_{SC}S}& =\frac{1}{2}\cdot \overline{M_{SB}{M}_{SC}}\cdot h_2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\\ & =15\end{array}$$

 

Der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m².

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodukts (Flächenihalt eines Parallelogramms/Dreiecks)

 

Das halbe Vektorprodukt der Vektoren $\overrightarrow{S{M}_{SB}}$ und $\overrightarrow{S{M}_{SC}}$ ist gleich dem Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten dreieckigen Fläche $M_{SB}{M}_{SC}S$.

 

$$A_{M_{SB}{M}_{SC}S}=\frac{1}{2}\cdot \left|(\overrightarrow{S{M}_{SB}}\times \overrightarrow{S{M}_{SC}})\right|$$

 

Vektoren $\overrightarrow{S{M}_{SB}}$ und $\overrightarrow{S{M}_{SC}}$ berechnen:

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{S{M}_{SB}}& =\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{SB}\\ & =\frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{B}-\overrightarrow{S})\\ & =\frac{1}{2}\cdot [\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 8\end{array}\right)]\\ & =\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -4\end{array}\right)\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{S{M}_{SC}}& =\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{SC}\\ & =\frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{C}-\overrightarrow{S})\\ & =\frac{1}{2}\cdot [\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 8\end{array}\right)]\\ & =\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -4\end{array}\right)\end{array}$$

 

Flächeninhalt $A_{M_{SB}{M}_{SC}S}$ des Dreiecks $M_{SB}{M}_{SC}S$ berechnen:

$$\begin{array}{rl}{A}_{M_{SB}{M}_{SC}S}& =\frac{1}{2}\cdot \left|(\overrightarrow{S{M}_{SB}}\times \overrightarrow{S{M}_{SC}})\right|\\ & =\frac{1}{2}\cdot |\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -4\end{array}\right)|\\ & =\frac{1}{2}\cdot \left|\left(\begin{array}{ccccccc}3& \cdot & (-4)& -& (-4)& \cdot & 3\\ (-4)& \cdot & (-3)& -& 3& \cdot & (-4)\\ 3& \cdot & 3& -& 3& \cdot & (-3)\end{array}\right)\right|\\ & =\frac{1}{2}\cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\ 24\\ 18\end{array}\right)\right|\\ & =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+{24}^2+{18}^2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{900}\\ & =15\end{array}$$

 

Der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m².

 

3. Lösungsansatz: Trigonometrische Flächenberechnung

 

Ist z.B. das Maß $\phi$ des Winkels $\measuredangle BSC$ bekannt, lässt sich der Flächeninhat $A_{M_{SB}{M}_{SC}S}$ des Dreiecks $M_{SB}{M}_{SC}S$ trigonometrisch berechnen.

$$\begin{array}{rlrl}{A}_{M_{SB}{M}_{SC}S}& =\frac{1}{2}\cdot \overline{S{M}_{SB}}\cdot \overline{S{M}_{SC}}\cdot \sin \phi & & |\overline{S{M}_{SB}}=\overline{S{M}_{SC}}\\ & =\frac{1}{2}\cdot {\overline{S{M}_{SB}}}^2\cdot \sin \phi & & |\overline{S{M}_{SB}}=\frac{1}{2}\cdot \overline{SB}\\ & =\frac{1}{8}\cdot {\overline{SB}}^2\cdot \sin \phi \end{array}$$

 

Maß $\phi$ des Winkels $\measuredangle BSC$ berechnen:

 

1. Möglichkeit: Winkel zwischen zwei Vektoren

Maß $\phi$ des Winkels $\measuredangle BSC$ zwischen den den Vektoren $\overrightarrow{SB}$ und $\overrightarrow{SC}$

$$\begin{array}{rlrl}\cos \phi & =\frac{|\overrightarrow{SB}\circ \overrightarrow{SC}|}{|\overrightarrow{SB}|\cdot |\overrightarrow{SC}|}& & ||\overrightarrow{SB}|=|\overrightarrow{SC}|\\ & =\frac{|\overrightarrow{SB}\circ \overrightarrow{SC}|}{{|\overrightarrow{SB}|}^2}\end{array}$$

 

Vektoren $\overrightarrow{SB}$ und $\overrightarrow{SC}$ und deren Betrag berechnen:

 

$$\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -8\end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -8\end{array}\right)$$

 

$$|\overrightarrow{SB}|=\left|\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -8\end{array}\right)\right|=\sqrt{6^2+6^2+(-8{)}^2}=2\sqrt{34}$$

 

$$\begin{array}{rl}\cos \phi & =\frac{|\overrightarrow{SB}\circ \overrightarrow{SC}|}{{|\overrightarrow{SB}|}^2}\\ & =\frac{|\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -8\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -8\end{array}\right)|}{(2\sqrt{34}{)}^2}\\ & =\frac{|6\cdot (-6)+6\cdot 6+(-8)\cdot (-8)|}{136}\\ & =\frac{8}{17}& & |{\cos }^{-1}(\dots )\\ \phi & =68,8^{\circ }\end{array}$$

 

2. Möglichkeit: Satz des Pythagoras, Trigonometrie - rechtwinkliges Dreieck

Höhe $h$ des Dreiecks $BCS$, rechtwinkliges Dreieck $SM{M}_{BC}$ und rechtwinkliges Dreieck $B{M}_{BC}S$

 

Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $SM{M}_{BC}$ anwenden:

$$\begin{array}{rlrl}{h}^2& ={\overline{MS}}^2+{\overline{M{M}_{BC}}}^2& & |\sqrt{}\\ h& =\sqrt{{\overline{MS}}^2+{\overline{M{M}_{BC}}}^2}\\ & =\sqrt{8^2+6^2}\\ & =10\end{array}$$

 

Trigonometrische Beziehung im rechtwinkligen Dreieck $B{M}_{BC}S$ anwenden:

$$\begin{array}{rl}\tan \frac{\phi }{2}& =\frac{\frac{1}{2}\cdot \overline{BC}}{h}\\ & =\frac{6}{10}\\ & =\frac{3}{5}& & |{\tan }^{-1}(\dots )\\ \frac{\phi }{2}& =34,4^{\circ }& & |\cdot 2\\ \phi & =68,8^{\circ }\end{array}$$

 

Flächeninhalt $A_{M_{SB}{M}_{SC}S}$ des Dreiecks $M_{SB}{M}_{SC}S$ berechnen:

 

$$\begin{array}{rl}{A}_{M_{SB}{M}_{SC}S}& =\frac{1}{8}\cdot {\overline{SB}}^2\cdot \sin \phi \\ & =\frac{1}{8}\cdot (2\sqrt{34}{)}^2\cdot \sin 68,8^{\circ }\\ & =15\end{array}$$

 

Der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m².