Abiturlösungen Mathematik Bayern Beispiel-Abiturprüfung 2026 Prüfungsteil B Aufgabe B5 (Geometrie)

Gegeben sind die Punkte \(A(17|-10|0)\), \(B(17|20|0)\), \(C(2|4|8)\) und \(D(2|-10|8)\). Es gilt \(\overline{AB} \parallel \overline{CD}\), somit ist das Viereck \(ABCD\) ein Trapez.

Zeigen Sie, dass das Trapez \(ABCD\) bei \(D\) einen rechten Innenwinkel hat.

(2 BE)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Trapezes \(ABCD\).

(zur Kontrolle: 374)

(3 BE)

Das Trapez \(ABCD\) liegt in der Ebene \(H\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(H\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(H \colon 8x_1 + 15x_3 - 136 = 0\))

(3 BE)

In einem Modell stellt die \(x_1x_2\)-Ebene die horizontale Grundfläche dar, auf der sich ein Hügel erhebt. Ein Hang des Hügels wird durch das Trapez \(ABCD\) dargestellt. Auf einem parallel zur Grundfläche verlaufenden Plateau, das durch ein Viereck mit \(C\) und \(D\) als Eckpunkten beschrieben wird, steht eine Burg. Die höchste Stelle der vorderen Fassade der Burg wird dabei durch den Punkt \(S(-6|2|12)\) dargestellt (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit entspricht 10 m in der Realität.

Bestimmen Sie die Höhe der vorderen Burgfassade an ihrer höchsten Stelle in Metern.

(2 BE)

Der durch das Trapez \(ABCD\) beschriebene Hang wird auf seiner gesamten Fläche für den Weinanbau genutzt. Berechnen Sie den Inhalt der Weinanbaufläche des Hangs in Hektar und untersuchen Sie mithilfe der folgenden Tabelle, um welche Art von Weinanbaulage es sich handelt.

(5 BE)

Bei der Weinlese steht ein Arbeiter auf dem Hang an einer Stelle, die durch den Punkt \(P(5{,}75|-2{,}5|6)\) beschrieben wird. Er stellt sich dort auf seine Zehenspitzen und versucht, aus einer Blickhöhe von zwei Metern die Burg zu sehen. Beurteilen Sie, ob der Hang dabei die freie Sicht auf die höchste Stelle der vorderen Fassade der Burg verhindert.

(5 BE)