Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Lage und Art eines Extrempunkts bestimmen
\[f(x) = x^{4} -2x^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\]
Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\)
Notwendige Bedingung für die Extremstelle von \(G_{f}\):
\[f'(x) \overset{!}{=} 0\]
Erste Ableitung \(f'\) von \(f\) bilden:
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} f(x) = x^{4} - 2x^{3} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= 4x^{3} - 6x^{2} \\[0.8em] &= x^{2} \cdot (4x - 6) \end{align*}\]
\[\begin{align*} f'(x) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad x^{2} \cdot (4x - 6) = 0 \end{align*}\]
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.
\[x = 0\]
Gemäß Angabe Aufgabe 1 ist \(O\,(0|0)\) ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, also ein Terrassenpunkt.
\[\begin{align*} 4x - 6 &= 0 & &| + 6 \\[0.8em] 4x &= 6 & &| : 4 \\[0.8em] x &= \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad \displaystyle x_{E} = \frac{3}{2}\) ist Extremstelle von \(G_{f}\).
\[\begin{align*}f(\textstyle{\frac{3}{2}}) &= \left( \frac{3}{2} \right)^{4} - 2 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{3} \\[0.8em] &= \frac{81}{16} - 2 \cdot \frac{27}{8} \\[0.8em] &= \frac{81}{16} - \frac{54}{8} \\[0.8em] &= \frac{81}{16} - \frac{108}{16} \\[0.8em] &= -\frac{27}{16} \approx -1{,}69\end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad \displaystyle \left( \frac{3}{2}| -\frac{27}{16}\right)\) ist Extrempunkt von \(G_{f}\).
Art des Extrempunkt von \(G_{f}\)
1. Lösungsansatz: Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) (Monotonieverhalten von \(G_{f}\))
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\[x_{E} = \frac{3}{2}\]
\[f'(x) = \underset{>\,0}{x^{2}} \cdot (4x - 6)\]
Der Term \(4x - 6\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) in der Umgebung der Extremstelle \(x_{E} = \frac{3}{2}\).
\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x < \frac{3}{2} \\ &f'(\textstyle{\frac{3}{2}}) = 0 \\ &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x > \frac{3}{2} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}, \; TiP \left(\frac{3}{2}\bigg \vert-\frac{27}{16}\right)\]
2. Lösungsansatz: Art der Extrema mithilfe der zweiten Ableitung
Anwendung der Differentialrechnung:
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).
Zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) bilden:
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}f'(x) = 4x^{3} - 6x^{2} \quad \Longrightarrow \quad f''(x) = 12x^{2} - 12x\end{align*}\]
\[\begin{align*}f''(\textstyle{\frac{3}{2}}) &= 12 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{2} - 12 \cdot \left( \frac{3}{2} \right) \\[0.8em] &= 12 \cdot \frac{9}{4} - \frac{36}{2} \\[0.8em] &= \frac{108}{4} - \frac{72}{4} \\[0.8em] &= \frac{36}{4} = 9 \end{align*}\]
\[\left. \begin{align*} &f'(\textstyle{\frac{3}{2}}) = 0 \\ &f''(\textstyle{\frac{3}{2}}) > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}, \; TiP \left(\frac{3}{2}\bigg \vert-\frac{27}{16}\right)\]
