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          • Teilaufgabe a
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        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 3b
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          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2019
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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        • Analysis 2
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          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1c
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        • Geometrie 1
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          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2018
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
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          • Teilaufgabe 5a
          • Teilaufgabe 5b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
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          • Teilaufgabe 4b
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          • Teilaufgabe 2b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2017
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 3b
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        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1e
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe 2e
        • Analysis 2
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2016
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 5b
          • Teilaufgabe 5c
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          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
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          • Teilaufgabe 4
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Stochastik 2
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          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 1h
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        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe 3d
          • Teilaufgabe 3e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe f
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
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    • Mathematik Abitur Bayern 2015
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 5a
          • Teilaufgabe 5b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe 3b
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        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
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          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
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        • Stochastik 1
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          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
    • Mathematik Abitur Bayern 2014
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
          • Teilaufgabe 5a
          • Teilaufgabe 5b
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 1g
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Beispiel-Abitur Bayern 2014
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
          • Teilaufgabe 5
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
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          • Teilaufgabe 2g
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 1g
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
    • Mathematik Abitur Bayern 2013
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 2c
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
        • Teilaufgabe h
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 1d
        • Teilaufgabe 1e
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 2c
    • Mathematik Abitur Bayern 2012
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
          • Teilaufgabe 2f
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
        • Teilaufgabe 3d
        • Teilaufgabe 3e
        • Teilaufgabe 3f
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 2
        • Teilaufgabe 3
        • Teilaufgabe 4a
        • Teilaufgabe 4b
        • Teilaufgabe 4c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
    • Mathematik Abitur Bayern 2011 G8
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3
        • Teilaufgabe 4
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
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        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
  • Abiturskript
    • Abiturskript G9 (PDF)
      • Bestellstatus/Download-Link
    • Abiturskript G8 (Online)
      • 1 Analysis
        • 1.1 Elementare Funktionen und Ihre Eigenschaften
          • 1.1.1 Lineare Funktion
          • 1.1.2 Quadratische Funktion
          • 1.1.3 Ganzrationale Funktion
          • 1.1.4 Wurzelfunktion
          • 1.1.5 Betragsfunktion
          • 1.1.6 Trigonometrische Funktionen
          • 1.1.7 Entwicklung von Funktionen
          • 1.1.8 Schnittstellen mit den Koordinatenachsen
          • 1.1.9 Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)
        • 1.2 Gebrochenrationale Funktion
          • 1.2.1 Nullstellen und Polstellen
          • 1.2.2 Grenzwerte und Asymptoten
        • 1.3 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion
          • 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln
          • 1.3.2 Exponentielles Wachstum und exponentielles Abklingen
          • 1.3.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen
        • 1.4 Grenzwerte
        • 1.5 Differentialrechnung
          • 1.5.1 Die Ableitung
          • 1.5.2 Ableitungsregeln
          • 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte
          • 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
          • 1.5.5 Newton-Verfahren
          • 1.5.6 Umkehrfunktion
          • 1.5.7 Extremwertaufgaben
          • 1.5.8 Funktionsbestimmungen
          • 1.5.9 Tangenten zweier Funktionsgraphen
        • 1.6 Integralrechnung
          • 1.6.1 Stammfunktion
          • 1.6.2 Unbestimmtes Integral
          • 1.6.3 Bestimmtes Integral
          • 1.6.4 Flächenberechnung
          • 1.6.5 Uneigentliches Integral
          • 1.6.6 Integralfunktion
        • 1.7 Funktionenscharen
          • 1.7.1 Funktionenscharen - Einführende Beispiele
          • 1.7.2 Nullstellen einer Funktionenschar
          • 1.7.3 Graph einer Scharfunktion durch einen Punkt
          • 1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung
          • 1.7.5 Extrem- / Wendepunkte einer Kurvenschar
          • 1.7.6 Ortslinie / Trägergraph einer Funktionenschar
          • 1.7.7 Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar
      • 2 Geometrie
        • 2.1 Vektoren
          • 2.1.1 Rechnen mit Vektoren
          • 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
          • 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren
          • 2.1.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
          • 2.1.5 Spatprodukt
          • 2.1.6 Nachweis von Vierecken
        • 2.2 Geraden und Ebenen im Raum
          • 2.2.1 Geradengleichung in Parameterform
          • 2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform
          • 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform
          • 2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform
        • 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
          • 2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
          • 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene
          • 2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen
          • 2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen
          • 2.3.5 Winkelhalbierende Gerade und Ebene
        • 2.4 Abstandsbestimmungen
          • 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade
          • 2.4.2 Abstand paralleler Geraden
          • 2.4.3 Abstand windschiefer Geraden
          • 2.4.4 Abstand Punkt - Ebene
          • 2.4.5 Abstand Gerade - Ebene
          • 2.4.6 Abstand paralleler Ebenen
        • 2.5 Schnittwinkelberechnungen
          • 2.5.1 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
          • 2.5.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
          • 2.5.3 Schnittwinkel zweier Ebenen
        • 2.6 Spiegelung von Punkten
          • 2.6.1 Spiegelung eines Punktes an einem Punkt
          • 2.6.2 Spiegelung eines Punktes an einer Geraden
          • 2.6.3 Spiegelung eines Punktes an einer Ebene
        • 2.7 Die Kugel
          • 2.7.1 Kugelgleichung
          • 2.7.2 Lagebeziehung Punkt - Kugel
          • 2.7.3 Lagebeziehung Gerade - Kugel
          • 2.7.4 Lagebeziehung Ebene - Kugel
          • 2.7.5 Lagebeziehung zweier Kugeln
      • 3 Stochastik
        • 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
          • 3.1.1 Ereignisse
          • 3.1.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff
          • 3.1.3 Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit
          • 3.1.4 Baumdiagramm und Vierfeldertafel
          • 3.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit
          • 3.1.6 Unabhängigkeit von Ereignissen
        • 3.2 Urnenmodelle
          • 3.2.1 Grundformeln der Kombinatorik
          • 3.2.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
        • 3.3 Zufallsgrößen
          • 3.3.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße
          • 3.3.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
          • 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße
        • 3.4 Beurteilende Statistik
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          • 3.4.2 Signifikanztest
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Prüfungsangabe Mathematik Abiturprüfung Bayern 2022 - Prüfungsteil B

Teilaufgabe 1a

Details
Kategorie: Analysis 2

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 1

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass der Graph von \(f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\) an.

(4 BE) 

  • Verhalten im Unendlichen
  • Grenzwertbetrachtung
  • Symmetrie von Funktionsgraphen
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Nullstelle(n) eines Produkts von Funktionen
  • Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs
  • wichtige Grenzwerte
  • Mathematik Abitur Bayern 2022

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Details
Kategorie: Analysis 2

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\))

(2 BE)

  • Kettenregel
  • Produktregel
  • Ableitung einer Potenzfunktion
  • Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Ableitungsfunktion
  • Mathematik Abitur Bayern 2022

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Details
Kategorie: Analysis 2

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

(5 BE)

  • Monotonieverhalten
  • Monotoniekriterium
  • Parabel
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Mathematik Abitur Bayern 2022

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Details
Kategorie: Analysis 2

Ist \(g'\) die erste Ableitungsfunktion einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), so gilt bekanntlich \(\displaystyle \int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\).

(3 BE)

  • Bestimmtes Integral
  • Berechnung bestimmter Integrale
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
  • Mathematik Abitur Bayern 2022

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Details
Kategorie: Analysis 2

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion \(F\) von \(f\) und für jede reelle Zahl \(w > 2022\) gilt

\[F(w) - F(0) \approx \int_0^{2022} f(x)dx\]

(3 BE)

  • Bestimmtes Integral
  • Berechnung bestimmter Integrale
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
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Lösung zu Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Details
Kategorie: Analysis 2

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a \colon x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}\) mit \(a \in \mathbb R\).

Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt \((1|1)\) enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von \(a\) an.

(3 BE)

  • Funktionenschar
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  • Analysis 2
  • Graph einer Scharfunktion durch einen Punkt
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Lösung zu Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Details
Kategorie: Analysis 2

Der Graph der Funktion \(f_0\) ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse an.

(2 BE)

  • Allgemeine Geradengleichung
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  • Analysis 2
  • Schnittpunkt mit der y-Achse
  • Steigung einer Gerade
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Lösung zu Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Details
Kategorie: Analysis 2

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen \(a\), \(a_1\) und \(a_2\):

  • \(f_a(0) = 0\)
  • \(f'_a(0) = f'_0(0)\)
  • \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) oder \(x =0\)

Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt. 

(3 BE)

  • Funktionenschar
  • Graphen einer Funktionenschar
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar
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Lösung zu Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Details
Kategorie: Analysis 2

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von \(a\) richtig ist:

Wird der Graph von \(f_a\) mit dem gleichen Faktor \(k > 0\) sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

(3 BE)

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Lösung zu Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Details
Kategorie: Analysis 2

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I   Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II  Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Abbildung 2 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 2

Abbildung 3 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 3

Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein.

Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE)

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Lösung zu Teilaufgabe 2e

Teilaufgabe 2f

Details
Kategorie: Analysis 2

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) handelt.

(3 BE)

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  • Ortskurve/Trägergraph einer Funktionenschar
  • Ortskurve
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Lösung zu Teilaufgabe 2f

Teilaufgabe 2g

Details
Kategorie: Analysis 2

Für jeden positiven Wert von \(a\) bilden der Hochpunkt \((v|f_a(v))\) des Graphen von \(f_a\), der Punkt \(\left(0|\frac{2}{v}\right)\), der Koordinatenursprung und der Punkt \((v|0)\) die Eckpunkt eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von \(a\), für den das Viereck den Flächeninhalt 49 hat.

(6 BE)

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Lösung zu Teilaufgabe 2g

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