Gegeben Sind die Punkte \(A(0|0|0)\), \(B(3|-6|6)\) und \(F(2|-4|4)\) sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).
Die Gerade \(h\) verläuft durch die Punkte \(A\) und \(B\). Zeigen Sie, dass sich \(g\) und \(h\) im Punkt \(F\) senkrecht schneiden.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]
\(F(2|-4|4)\)
Eine Gleichung der Gerade \(h\) ist beispielsweise gegeben durch:
Gleichung einer Gerade / Strecke in Parameterform
Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform
\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.
Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).
Gleichung einer Strecke \([AB]\) in Parameterform:
\[\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \textcolor{#cc071e}{\lambda \in [0;1]} \]
\[h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \mu \cdot \overrightarrow{B}, \; \mu \in \mathbb R\]
Anmerkung: Mit \(A(0|0|0)\) gilt \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B}\).
Mit \(\overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) lautet eine Gleichung von \(h\) also:
\[h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \; \mu \in \mathbb R\]
Nachweis, dass sich \(g\) und \(h\) im Punkt \(F\) schneiden
1. Möglichkeit: Punktprobe \(F \in g\) und \(F \in h\)
Es ist zu überprüfen, ob der Ortsvektor \(\overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\) sowohl die Gleichung der Gerde \(g\) als auch die Gleichung der Gerade \(h\) erfüllt.
\[F \in g \colon \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \begin{cases} \enspace \; 2 &= -2\lambda \quad &\Longleftrightarrow \quad \lambda = -1 \\[0.8em] -4 &= -4 \; &(\text{wahre Aussage für alle}\; \lambda \in \mathbb R) \\[0.8em] \enspace \; 4 &= 5 + \lambda \quad &\Longleftrightarrow \quad \lambda = -1 \end{cases}\]
Für \(\lambda = -1\) sind alle drei Gleichungen erfüllt. Somit liegt der Punkt \(F\) auf der Geraden \(g\).
\[F \in h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \begin{cases}\; \quad \mu &= 2 \\[0.8em] -2\mu &= -4 \quad &\Longleftrightarrow \quad \mu = 2 \\[0.8em] \; \enspace 2\mu &= 4 \quad &\Longleftrightarrow \quad \mu = 2 \end{cases}\]
Für \(\mu = 2\) sind alle drei Gleichungen erfüllt. Somit liegt der Punkt \(F\) auf der Geraden \(h\).
Also schneiden sich die Gerade \(g\) und die Gerade \(h\) im Punkt \(F\).
2. Möglichkeit: Ansatz zur Schnittpunktberechnung der Geraden \(g\) und \(h\) \((g \cap h)\)
Hierfür werden die Ortsvektoren \(\overrightarrow{X}\) der Gleichungen der Geraden \(g\) und \(h\) gleichgesetzt.
\[\begin{align*} \overrightarrow{X_{g}} &= \overrightarrow{X_{h}} \\[0.8em] \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*}\]
Zeilenweise gelesen ergibt die Vektorgleichung ein lineares Gleichungssystem für die zu bestimmenden Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\).
\[\begin{align*} \text{I} & & & \qquad \, -2\lambda = \; \quad \mu \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & -4 \qquad \enspace \; = -2\mu \quad \Longleftrightarrow \quad \mu = 2 \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace & \quad \; 5 + \enspace \;\, \lambda = \; \enspace 2\mu \end{align*}\]
\[ \mu = 2 \; \text{in I} \colon \; -2\lambda = 2 \quad \Longleftrightarrow \quad \lambda = -1\]
\[\begin{align*} \lambda = -1, \; \mu = 2 \; \text{in III} \colon \; 5 + (-1) &= 2 \cdot 2 \\[0.8em] 4 &= 4 \quad (\text{w}) \end{align*}\]
\(\lambda = -1\) und \(\mu = 2\) ist eindeutige Lösung des Gleichungssystems.
Ortsvektor des Schnittpunkts berechnen:
Hierfür wird \(\lambda = -1\) in die Gleichung der Gerade \(g\) oder \(\mu = 2\) in die Gleichung der Gerade \(h\) eingesetzt.
\[\lambda = -1 \; \text{in} \; g \colon \; \overrightarrow{X} =\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \overrightarrow{F}\]
oder
\[\mu = 2 \; \text{in} \; h \colon \; \overrightarrow{X} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \overrightarrow{F}\]
Also schneiden sich die Gerade \(g\) und die Gerade \(h\) im Punkt \(F\).
Nachweis, dass sich \(g\) und \(h\) senkrecht schneiden
Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geradengleichungen muss gleich Null sein.
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\[\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = (-2) \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 0\]
\[\Longrightarrow \quad g \perp h\]
Somit schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) senkrecht im Punkt \(F\).
