Weisen Sie nach, dass für jeden Wert \(u \in \mathbb R\) die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((u|f_a(u))\) die \(y\)-Achse im Punkt \((0|-f_a(u))\) schneidet.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4b
\[f_a(x) = ax^2; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a > 0\]
\[(u|f_a(u)), \; u \in \mathbb R\]
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
Ansatz der Tangentengleichung: \(t \colon y = \textcolor{#cc071e}{m}x + \textcolor{#0087c1}{c}\)
Es ist zu zeigen, dass \(\textcolor{#0087c1}{c} = \textcolor{#0087c1}{-f_a(u)}\) der \(\textcolor{#0087c1}{y}\)-Achsenabschnitt einer Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((u|f_a(u))\) ist.
Die Vorgehensweise ist identisch mit der einer Tangentenaufgabe, bei der die Koordinaten des Berührpunkts feste Werte haben. Nur, dass stattdessen mit den allgemeinen Koordinaten \((u|f_a(u))\) gerechnet wird.
- Tangentensteigung \(\textcolor{#cc071e}{m}\) berechnen
- Wert von \(m\) und Koordinaten des Berührpunkts in den Ansatz der Tangentengleichung einsetzen und \(\textcolor{#0087c1}{y}\)-Achsenabschnitt \(\textcolor{#0087c1}{c}\) bestimmen.
Tangentensteigung \(\textcolor{#cc071e}{m}\) berechnen:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
Es gilt: \(\textcolor{#cc071e}{m} = f'_a(u)\)
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
Mit \(f'_a(x) = 2ax\) folgt:
\[\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#cc071e}{2au}\]
\(\textcolor{#0087c1}{y}\)-Achsenabschnitt \(\textcolor{#0087c1}{c}\) bestimmen:
Berührpunkt \((u|f_a(u))\), \(f_a(x) = ax^2\)
\[f_a(u) = au^2\;\Rightarrow \; (\textcolor{#e9b509}{u}|\textcolor{#e9b509}{au^2})\]
Steigung& \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#cc071e}{2au}\) und Koordinaten \((\textcolor{#e9b509}{u}|\textcolor{#e9b509}{au^2})\) in die Tangentengleichung eingesetzt ergibt:
\[\begin{align*} y &= \textcolor{#cc071e}{m}x + \textcolor{#0087c1}{c} \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{au^2} &= \textcolor{#cc071e}{2au} \cdot \textcolor{#e9b509}{u} + \textcolor{#0087c1}{c} \\[0.8em] au^2 &= 2au^2 + \textcolor{#0087c1}{c} &&| - 2au^2 \\[0.8em] - au^2 &= \textcolor{#0087c1}{c} &&| \; f_a(u) = au^2 \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{-f_a(u)} &= \textcolor{#0087c1}{c}\end{align*}\]
Somit schneidet die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((u|f_a(u))\) für jeden Wert \(u \in \mathbb R\) die \(y\)-Achse im Punkt \((0|\textcolor{#0087c1}{-f_a(u)})\).
