Die gebrochen-rationale Funktion \(h \colon x \mapsto 1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\) mit \(x \in \mathbb R \backslash \{0\}\) stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für \(f\) dar.
Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von \(h\) an.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1e
\[h(x) = \underbrace{1{,}5x - 4{,}5}_{\text{schräge Asymptote}} + \frac{1}{x}; \; D = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = 0\) (Polstelle)
Schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = 1{,}5x -4{,}5\)
Anmerkung:
Eine mögliche Begründung der schrägen Asymptote durch Grenzwertbestimmung wäre (nicht verlangt):
\[\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \Big( 1{,}5x - 4{,}5 + \underbrace{\frac{1}{x}}_{\large \to \, 0} \Big) = \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \left( 1{,}5x - 4{,}5\right)\]
