Abiturlösungen Mathematik Bayern 2015

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) gilt: \(E(X) = 9p^2 + 12p + 4\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Erwartungswert einer Zufallsgröße bestimmen 

 

Ergebnis aus Teilaufgabe 1a: \(P(X = 10) = 2p - 2p^{2}\)

 

Mithilfe des Baumdiagramms und dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1a lässt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) beschreiben.

 

Baumdiagramm für zweimaliges Drehen des Glücksrads (zweistufiges Zufallsexperiment) mit Elementarereignissen und Werten der Zufallsgröße X

Baumdiagramm für zweimaliges Drehen des Glücksrads (zweistufiges Zufallsexperiment) mit Elementarereignissen \(\omega_{i}\) und Werten \(x_{i}\) der Zufallsgröße \(X\)

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):

 

\[P(X = 4) = P(2;2) = (1 - p)^{2}\]

\[P(X = 25) = P(5;5) = p^{2}\]

 

\(X = x_{i}\) \(4\) \(10\) \(25\)
\(P(X = x_{i})\) \((1 - p)^{2}\) \(2p - 2p^{2}\) \(p^{2}\)

 

Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) ermitteln:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:

Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]

Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.

\[\begin{align*} E(X) &= 4 \cdot (1 - p)^{2} + 10 \cdot (2p - 2p^{2}) + 25 \cdot p^{2} \\[0.8em] &= 4 \cdot (1 - 2p + p^{2}) + 20p - 20p^{2} + 25p^{2} \\[0.8em] &= 4 - 8p +4p^{2} + 20p +5p^{2} \\[0.8em] &= 9p^{2} + 12p + 4 \end{align*}\]