Abiturlösungen Mathematik Bayern 2021

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Mit einem Lasermessgerät soll ein Verkehrsschild angepeilt werden. Diese Situation wird modellhaft in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Ausgangspunkt des Laserstrahls wird durch den Punkt \(P(104|-42|10)\) beschrieben, seine Richtung durch den Vektor \(\begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Verkehrsschild wird durch eine Kreisscheibe repräsentiert, die in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene liegt und den Mittelpunkt \(M(0|0|20)\) sowie den Radius 3 hat.

Untersuchen Sie, ob der Laserstrahl auf das Verkehrsschild trifft.

(5 BE)

Lösung zur Aufgabe

Planskizze: Verkehrsschild (Kreis mit Mittelpunkt M(0|0|20) und Radius r = 3) in der x₂x₃-Ebene, Laserstrahl

Planskizze (optional): Die Gerade \(\textcolor{#e9b509}{g}\) duch den Punkt \(\textcolor{#e9b509}{P(104|-42|10)}\) und dem Richtungsvektor \(\textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}}\) beschreibt im Modell den Verlauf des Laserstrahls. Der Kreis mit dem Mittelpunkt \(\textcolor{#cc071e}{M(0|0|20)}\) und dem Radius \(\textcolor{#cc071e}{r = 3}\) repräsentiert das Verkehrsschild, welches in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene liegt.

Die Gerade \(\textcolor{#e9b509}{g}\) (Laserstrahl) schneidet die \(x_{2}x_{3}\)-Ebene im Punkt \(\textcolor{#e9b509}{S}\). Der Laserstrahl trifft auf das Verkehrsschild, wenn der Abstand der Punkte \(\textcolor{#e9b509}{S}\) und \(\textcolor{#cc071e}{M}\) kleiner ist als der Radius des Kreises (Verkehrsschild).

 

Gleichung der Gerade \(\textcolor{#e9b509}{g}\) und der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene formulieren:

Gleichung einer Gerade / Strecke in Parameterform

Gleichung einer Gerad / Strecke in Parameterform

Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform

\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.

Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).

Gleichung einer Strecke \([AB]\) in Parameterform:

\[\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \textcolor{#cc071e}{\lambda \in [0;1]} \]

\[\textcolor{#e9b509}{g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 104 \\ -42 \\ 10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R}\]

 

Eine Gleichung der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene in Normalenform ist beispielsweise \(x_{1} = 0\).

 

Schnittpunkt \(\textcolor{#e9b509}{S}\) der Gerade \(\textcolor{#e9b509}{g}\) und der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene bestimmen:

Hierfür wird die \(x_{1}\)-Koordinate des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) der Gleichung von \(\textcolor{#e9b509}{g}\) in die Ebenengleichung \(x_{1} = 0\) der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene eingesetzt und diese nach dem Parameter \(\lambda\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{g} \cap x_{2}x_{3}\text{-Ebene}\,\colon \textcolor{#e9b509}{104 - 13 \lambda} &= 0 &&| + 13 \lambda \\[0.8em] 104 &= 13\lambda &&| : 13 \\[0.8em] 8 &= \lambda \end{align*}\]

 

Durch Einsetzen des Parameterwerts \(\lambda = 8\) in die Gleichung der Gerade \(\textcolor{#e9b509}{g}\) erhält man den Ortsvektor des Schnittpunkts \(\textcolor{#e9b509}{S}\).

 

\[\textcolor{#e9b509}{S \in g \colon \overrightarrow{S}} = \begin{pmatrix} 104 \\ -42 \\ 10 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 18 \end{pmatrix}}\]

 

Abstand der Punkte \(\textcolor{#e9b509}{S}\) und \(\textcolor{#cc071e}{M}\) berechnen und mit dem Radius \(\textcolor{#cc071e}{r = 3}\) vergleichen:

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} d(\textcolor{#e9b509}{S};\textcolor{#cc071e}{M}) &= \vert \overrightarrow{\textcolor{#e9b509}{S}\textcolor{#cc071e}{M}} \vert = \vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{M}} - \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{S}} \vert \\[0.8em] &= \left| \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 20 \end{pmatrix}} - \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 18 \end{pmatrix}} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{0^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8}\end{align*}\]

 

Da \(\sqrt{8} < \textcolor{#cc071e}{3} \; (= \textcolor{#cc071e}{\sqrt{9}})\) gilt, trifft der Laserstrahl auf das Verkehrsschild.

 

Alternativer Vergleich mit dem Radius des Kreises:

Zunächst wird die Gleichung des Kreises \(\textcolor{#cc071e}{k}\) in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene mit dem Mittelpunkt \(\textcolor{#cc071e}{M(0|0|20)}\) und dem Radius \(\textcolor{#cc071e}{r = 3}\) formuliert. Anschließend lässt sich mithilfe einer Punktprobe prüfen, ob der Punkt \(\textcolor{#e9b509}{S(0|-2|18)}\) innerhalb des Kreises liegt.

Kreisgleichung (Kreis in einer Koordinatenebene)

Kreisgleichung (Kreis in einer Koordinatenebene)

Ein Kreis mit dem Mittelpunkt \(M(m_{1}|m_{2})\) und dem Radius \(r\) wird in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschrieben durch:

Vektordarstellung

\[(\overrightarrow{X} - \overrightarrow{M})^{2} = r^{2}\]

Koordinatendarstellung

\[(x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} = r^{2}\]

Die Gleichungen gelten analog für die \(x_{1}x_{3}\)- bzw. die \(x_{2}x_{3}\)-Ebene.

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{k} \colon (x_{2} - \textcolor{#cc071e}{m_{2}})^{2} + (x_{3} - \textcolor{#cc071e}{m_{3}})^{2} &= \textcolor{#cc071e}{r}^{2} \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{k} \colon (x_{2} - \textcolor{#cc071e}{0})^{2} + (x_{3} - \textcolor{#cc071e}{20})^{2} &= \textcolor{#cc071e}{3}^{2} \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{k} \colon x_{2}^{2} + (x_{3} - \textcolor{#cc071e}{20})^{2} &= \textcolor{#cc071e}{3}^{2}\end{align*}\]

 

Punktprobe \(\textcolor{#e9b509}{S(0|-2|18)}\) in \(\textcolor{#cc071e}{k}\):

 

\[\begin{align*} (\textcolor{#e9b509}{-2})^{2} + (\textcolor{#e9b509}{18} - \textcolor{#cc071e}{20})^{2} &\overset{?}{=} \textcolor{#cc071e}{3}^{2} \\[0.8em] \Rightarrow \enspace (-2)^{2} + (-2)^{2} &< \textcolor{#cc071e}{9} \\[0.8em] 8 &< \textcolor{#cc071e}{9} \end{align*}\]

 

MIt \(8 < \textcolor{#cc071e}{9}\) liegt der Punkt \(\textcolor{#e9b509}{S}\) innerhalb des Kreises \(\textcolor{#cc071e}{k}\). Folglich trifft der Laserstrahl auf das Verkehrsschild.