Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte \(c \in \; ]0;6[\) gibt, für die gilt: \(\displaystyle \int_{e^{-1}}^{c} f(x) dx = 0\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
\[\int_{e^{-1}}^{c} f(x)dx = 0; \; c \in \; ]0;6[\]
Nullstelle einer Integralfunktion
Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(x = a\) eine Nullstelle.
\[I_{a}(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, dt = F(a) - F(a) = 0\]
\(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).
Die untere Integrationsgrenze \(c_{1} = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}34 \in \; ]0;6[\) ist die erste Nullstelle, da \(\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e^{-1}} f(x)dx = 0\) gilt.
![Flächenbilanz der Flächenstücke, die der Graph der Funktion f im Intervall [e;6] mit der x-Achse einschließt.](/images/stories/B2018_PT_B_A1/B2018_PT_B_A1_1d.png "Flächenbilanz der Flächenstücke, die der Graph der Funktion f im Intervall [e;6] mit der x-Achse einschließt.")
Abbildung 1 zeigt, dass \(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\left| \int_{e^{-1}}^{e}f(x)dx \right|} < \textcolor{#0087c1}{\int_{e}^{6} f(x)dx}\) gilt.
Beispielsweise ergibt sich durch „Kästchenzählen":
\[\textcolor{#cc071e}{\left| \int_{e^{-1}}^{e}f(x)dx \right| \approx 11 \cdot 0{,}25 = 2{,}75}\]
\[\textcolor{#0087c1}{\int_{e}^{6} f(x)dx \approx 28 \cdot 0{,}25 = 7}\]
Folglich gibt es einen weiteren Wert \(c_{2} \in \; ]e;6[\), sodass die Flächenbilanz des Integrals \(\displaystyle \int_{e^{-1}}^{c_{2}}f(x)dx\) gleich Null ist \((c_{2} \approx 4{,}74)\).
