Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).
Zeigen Sie, dass \(D_f = \mathbb R \, \backslash \, \{-5;5\}\) gilt und dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\]
Maximaler Definitionsbereich \(D_{f}\)
\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\]
Die Nullstellen des Nennerterms von \(f\) bestimmen den maximalen Definitionsbereich der gebrochenrationalen Funktion \(f\).
\[\begin{align*} \underbrace{x^2 - 25}_{a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)\,\cdot\,(a\,+\,b)} &= 0 & &|\; \text{3. Binomische Formel anwenden} \\[0.8em] (x - 5) \cdot (x + 5) &= 0 \end{align*}\]
\[x_{1} = -5 \enspace \vee \enspace x_{2} = +5\]
oder:
\[\begin{align*} x^2 - 25 &= 0 & &| + 25 \\[0.8em] x^2 &= 25 & &| \;\sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm5 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\]
Nachweis, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist
\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\]
Symmetrie von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems
Der Graph einer Funktion \(f\) ist
achsensymmetrisch bzgl. der \(\boldsymbol{y}\)-Achse,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = f(x)\).
punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = -f(x)\)
\[f(-x) = \frac{20 \cdot (-x)}{(-x)^2 - 25} = -\frac{20x}{x^2 - 25} = -f(x)\]
\(\Longrightarrow \quad\) \(G_{f}\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Nullstelle von \(f\)
Die Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion \(f\) ist die Nullstelle des Zählers \(20x\), welche nicht zugleich Nullstelle des Nenners sein darf (vgl. Anmerkung).
\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\]
Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen
Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)
Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]
Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)
Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:
vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen
Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.
Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.
\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).
\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]
Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!
\[\begin{align*} f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 20x &= 0 \\[0.8em] x &= 0 \end{align*}\]
Anmerkung:
Ist \(x_0\) eine Nullstelle der Zählerfunktion \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle der Nennerfunktion \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt eine gebrochnrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{z(x)}{n(x)}\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_{f}\)
Senkrechte Asymptoten:
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\]
\(G_f\) besitzt an den beiden Polstellen \(x = -5\) und \(x = 5\) (siehe maximaler Definitionsbereich) jeweils eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = -5\) bzw. \(x = 5\).
Dritte Asymptote:
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
Da der Grad des Zählerpolynoms \(z\) kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms \(n\), ist für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\) waagrechte Asymptote von \(G_f\).
\(z < n \quad \Longrightarrow \quad y = 0\;\) ist waagrechte Asymptote von \(G_{f}\).
oder:
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \; \frac{20x}{x^2 - 25} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \; \frac{20x}{x \cdot \left(x - \frac{25}{x}\right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \; \frac{20}{x - \underbrace{\frac{25}{x}}_{\to\,0}} \\[0.8em]&= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \; \frac{20}{x} = 0^{-}\end{align*}\]
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \; \frac{20x}{x^2 - 25} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \; \frac{20x}{x \cdot \left(x - \frac{25}{x}\right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \; \frac{20}{x - \underbrace{\frac{25}{x}}_{\to\,0}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \; \frac{20}{x} = 0^{+}\end{align*}\]
Für \(x \to -\infty\) nähert sich \(G_f\) der \(x\)-Achse asymptotisch von unten und für \(x \to +\infty\) nähert sich \(G_f\) der \(x\)-Achse asymptotisch von oben.
\(\Longrightarrow \quad y = 0\;\) ist waagrechte Asymptote von \(G_{f}\).
