Abiturlösungen Mathematik Bayern 2016

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert. Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt \(B(40|105|0)\) beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden.

Berechnen Sie die Größe des erforderlichen Drehwinkels. 

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Winkel zwischen zwei Vektoren

 

Spielfeld mit Position K₂ der Kamera und Position B des Balls sowie Drehwinkel der Kamera

Spielfeld mit Position \(K_{2}\) der Kamera und Position \(B\) des Balls sowie Drehwinkel der Kamera

 

Winkel α zwischen dem Verbindungsvektor der Punkte K₂ und B und einem Normalenvektor der x₁x₂-Ebene, der die Blickrichtung der Kamera repräsentiert.

Der Drehwinkel der Kamera entspricht dem Winkel zwischen dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{K_{2}B}\) und einem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene, welcher die ursprünglich senkrecht nach unten orientierte Kamera repräsentiert.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Anwendung des Skalarprodukts:

Winkel zwischen zwei Vektoren (vgl. Merkhilfe)

\[\cos \varphi = \frac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert}\,; \quad \varphi \in [0;\pi]\]

Winkel zwischen zwei Vektoren

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene festlegen:

Ein geeigneter Normalenvektor, der die senkrecht nach unten orientierte Kamera beschreibt, ist beispielsweise der Normalenvektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\).

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{K_{2}B}\) bestimmen:

 

\(B(40|105|0)\), \(K_{2}(51|100|10)\) (vgl. Teilaufgabe b)

 

\[\overrightarrow{K_{2}B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{K_{2}} = \begin{pmatrix} 40 \\ 105 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 51 \\ 100 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix}\]

 

Winkel \(\alpha\) zwischen den Vektoren \(\overrightarrow{K_{2}B}\) und \(\overrightarrow{n}\) berechnen:

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{K_{2}B} \circ \overrightarrow{n}}{\Big| \overrightarrow{K_{2}B} \Big| \cdot \left| \overrightarrow{n} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} -11 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} -11 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{(-11) \cdot 0 + 5 \cdot 0 + (-10) \cdot (-1)}{\sqrt{(-11)^{2} + 5^{2} + (-10)^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} (-1)^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{10}{\sqrt{246}} & &| \; \text{TR:} \; \cos^{-1}(\dots) \\[3.2em] \alpha &\approx 50{,}39^{\circ} \end{align*}\]

 

Um die Position des Balls anzuvisieren, muss die Kamera um ca. 50,39° gedreht werden.