Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5 % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Binomialverteilung, Binomialverteilte Zufallsgröße

 

\(A\): „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke."

\[P(A) = 0{,}05\]

 

Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Flaschen, deren Verschluss eine Gewinnmarke enthält.

 

Analyse der Angabe:

 

„... wieviele Flaschen man mindestens öffnen muss ..."

\(\Longrightarrow \quad\)Gesucht ist die kleinstmögliche Anzahl \(n\) zu öffnender Flaschen (Länge der Bernoullikette).

 

„... mindestens zwei Gewinnmarken ..."

\[\Longrightarrow \quad X \geq 2\]

 

„... um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5 % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden."

\[\Longrightarrow \quad P_{0{,}05}^{n}(X \geq 2) > 0{,}05\]

 

Betrachten des Gegenereignisses:

Um mit dem Stochastischen Tafelwerk arbeiten zu können, wird die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}05}^{n}(X \geq 2)\) auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückgeführt.

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

Dies erreicht man, indem man das Gegenereignis zum Ereignis „Mindestens zwei Gewinnmarken" betrachtet. Das Gegenereignis lautet: „Höchstens eine Gewinnmarke".

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:

\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]

Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.

\[\begin{align*}P_{0{,}05}^{n}(X \geq 2) &> 0{,}05 & &| \; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) &> 0{,}05 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) &> -0{,}95 & &| \cdot (-1) \enspace \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) &< 0{,}95 \end{align*}\]

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

Für die Trefferwahscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) sucht man diejenige Tabelle der Länge der Bernoullikette \(n\), deren Eintrag in der rechten Spalte (kumulative Verteilungsfunktion) möglichst nahe an den Wert \(0{,}95\) heranreicht.

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

\[P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) < 0{,}95 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad n = 8 \enspace \left( P_{0{,}05}^{8}(X \leq 1) = 0{,}94276 \right)\]

 

Zum Vergleich:

 

\[n = 9 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad P_{0{,}05}^{9}(X \leq 1) = 0{,}92879\]

\(\Longrightarrow \quad\)Bedingung \(P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) < 0{,}95\) übererfüllt

 

\[n = 7 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad P_{0{,}05}^{7}(X \leq 1) = 0{,}95562\]

\(\Longrightarrow \quad\)Bedingung \(P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) < 0{,}95\) nicht erfüllt

 

Es müssen mindestens acht Flaschen geöffnet werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5 % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.