Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term \(\displaystyle 1 - \sum \limits_{i\,=\,0}^{8} \binom{30}{i} \cdot 0{,}2^{i} \cdot 0{,}8^{30\,-\,i}\) berechnet werden kann, und geben Sie dieses Ereignis an.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Zufallsexperiment: Es werden 30 Pakete zufällig ausgewählt.
Ereignis: „Unter den 30 zufällig ausgewählten Paketen sind mindestens 9 Retouren."
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
\[\overbrace{1 - \underbrace{\sum \limits_{i\,=\,\textcolor{#e9b509}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{8}}\binom{\textcolor{#0087c1}{30}}{i} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}2}^{i} \cdot 0{,}8^{\textcolor{#0087c1}{30}\,-\,i}}_{\large{\underset{\textcolor{#e9b509}{\Large{\text{„höchstens 8"}}}}{P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}2}}^{\textcolor{#0087c1}{30}}(\textcolor{#e9b509}{X \,\leq \,8})}}}}^{\large{\text{nicht}\;\textcolor{#e9b509}{\text{„höchstens 8"}}}}\; = \; \overset{\large{\textcolor{#e9b509}{\text{„mindestens 9"}}}}{P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}2}}^{\textcolor{#0087c1}{30}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 9})}\]
\(X\): Anzahl der Retouren unter 30 zufällig ausgewählten Paketen
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{30}; \textcolor{#cc071e}{0{,}2})\) binomialverteilt.
Dem Term \(\displaystyle \binom{\textcolor{#0087c1}{30}}{i} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}2}^{i} \cdot 0{,}8^{\textcolor{#0087c1}{30}\,-\,i}\) kann die Länge der Bernoulli-Kette \(\textcolor{#0087c1}{n = 30}\) und die Trefferwahrscheinlichkeit \(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}2}\) entnommen werden. Das bedeutet im Sachzusammenhang, dass 30 Pakete zufällig ausgewählt werden (Zufallsexperiment), und das Ereignis „Paket ist eine Retoure." betrachtet wird (vgl. Teilaufgabe 1a). Der Term errechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Paketen genau \(i\) Retouren sind.
Für \(i = \textcolor{#e9b509}{0}\) bis \(k = \textcolor{#e9b509}{8}\) werden diese Wahrscheinlichkeiten aufsummiert und ergeben so die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Paketen höchstens 8 Retouren sind.
Von 1 (100 %) subtrahiert ergibt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Paketen nicht höchstens 8 Retouren sind, was gleichbedeutend ist mit der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: „Unter 30 zufällig ausgewählten Paketen sind mindestens 9 Retouren."
