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Aufgabe f Geometrie I 2011 G8 - Abiturlösungen

Abiturlösungen Mathematik Bayern 2011 G8

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Im Mittelpunkt des Grundstücks wird ein Mast errichtet, der durch vier an seiner Spitze befestigte Seile gehalten wird. Die Verankerungspunkte der Seile im Grundstücksboden sind jeweils 15 m vom Mastfußpunkt entfernt und liegen von diesem aus genau in östlicher, nördlicher, westlicher und südlicher Richtung.

Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des östlichen und nördlichen Verankerungspunkts \(V_O\) bzw. \(V_N\).

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe f

 

Östlicher Verankerungspunkt \(V_O\)

 

Die positive \(x_2\)-Achse beschreibt die östliche Himmelsrichtung (siehe Teilaufgabe c).

 

\(\Longrightarrow \quad \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix}\) ist Einheitsvektor in östlicher Richtung.

 

\[\begin{align*} \overrightarrow {V}_O &= \overrightarrow M + 15 \cdot \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} + 15 \cdot \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -40 \\ 45 \\ 30 \end {pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad V_O(-40|45|30)\]

 

Nördlicher Verankerungspunkt \(V_N\)

 

Einheitsvektor in nördlicher Hangrichtung:

 

\[\frac{\overrightarrow{OC}}{\left| \overrightarrow{OC} \right|} = \frac{\overrightarrow C}{\left| \overrightarrow C \right|}; \qquad \overrightarrow C = \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 60 \end {pmatrix} = 20 \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\frac{\overrightarrow C}{\left| \overrightarrow C \right|} = \frac{\begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}}{\left| \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix} \right|} = \frac{\begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}}{\sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2}} = \frac{1}{5} \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow {V}_N &= \overrightarrow M + 15 \cdot \frac{\overrightarrow C}{\left| \overrightarrow C \right|} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} + 15 \cdot \frac{1}{5} \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -52 \\ 30 \\ 39 \end {pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad V_N(-52|30|39)\]

 

Lage des östlichen und des nördlichen Verankerungspunktes

Lage des östlichen Verankerungspunktes \(V_O\) und des nördlichen Verankerungspunktes \(V_N\)