Die Punkte \(M\) und \(N\) liegen auf der Geraden
\(\displaystyle \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4{,}8 \\ 8 \\ 7{,}4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\mu \in \mathbb R\),
die im Modell die Neigung der Dachfläche der Gaube festlegt. Die zur \(x_3\)-Achse parallele Strecke \([NL]\) stellt im Modell den sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll 1,4 m betragen. Um die Koordinaten von \(N\) und \(L\) zu bestimmen, wird die Ebene \(F\) betrachtet, die durch Verschiebung von \(E\) um 1,4 in positive \(x_3\)-Richtung entsteht.

Begründen Sie, dass \(3x_1 + 4x_3 - 49{,}6 = 0\) eine Gleichung von \(F\) ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

\[E\,\colon\,3x_{1} + 4x_{3} - 44 = 0\]

\[F\,\colon\,3x_{1} + 4x_{3} - 49{,}6 = 0\]

 

Da die Ebene \(F\) aus der Ebene \(E\) durch Verschiebung in \(x_{3}\)-Richtung hervorgeht, sind die beiden Ebenen zueinander parallel.

 

\[E \parallel F \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \overrightarrow{n}_{F}\]

 

1. Lösungsansatz: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

 

Die Punkte \(B\), \(C\), \(G\), \(H\) und \(T\) liegen in der Ebene \(E\). Dann liegt beispielsweise der um 1,4 in \(x_{3}\)-Richtung verschobene Punkt \(C'\) in der Ebene \(F\).

\[C\,(8|10|5) \quad \xmapsto{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1{,}4 \end{pmatrix}} \quad C'\,(8|10|6{,}4)\]

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Veranschaulichung: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

\[\begin{align*} F\,\colon & & \overrightarrow{n}_{F} \circ \bigg( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{C'} \bigg) &= 0 \\[0.8em] & & \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 6{,}4 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] & & 3 \cdot (x_{1} - 8) + 0 \cdot (x_{2} - 10) + 4 \cdot (x_{3} - 6{,}4) &= 0 \\[0.8em] & & 3x_{1} - 24 + 4x_{3} - 25{,}6 &= 0 \\[0.8em] & & 3x_{1} + 4x_{3} - 49{,}6 &= 0   \end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Veranschaulichung: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

\(C'(8|10|6{,}4) \in F\) (siehe 1. Lösungsansatz)

 

\[F\,\colon\, 3x_{1} + 4x_{3} + n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*} C' \in F\,\colon\, 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6{,}4 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 24 + 25{,}6 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 49{,}6 + n_{0} &= 0 & &| - 49{,}6 \\[0.8em] n_{0} &= -49{,}6 \end{align*}\]

 

\[F\,\colon\, 3x_{1} + 4x_{3} - 49{,}6 = 0\]