Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenkanten \([CA]\) und \([CB]\) einschließen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Spitzer Winkel φ, den die Seitenkanten [CA] und [CB] einschließen

 

Es sei \(\varphi\) das Maß des spitzen Winkels, den die Seitenkanten \([CA]\) und \([CB]\) einschließen.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Anwendung des Skalarprodukts:

Winkel zwischen zwei Vektoren (vgl. Merkhilfe)

\[\cos \varphi = \frac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert}\,; \quad \varphi \in [0;\pi]\]

Winkel zwischen zwei Vektoren

\[\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\]

 

Größe des Winkels \(\varphi\) berechnen:

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} \cos \varphi &= \frac{\overrightarrow{CA} \circ \overrightarrow{CB}}{\vert \overrightarrow{CA} \vert \cdot \vert \overrightarrow{CB} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{0 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + (-3) \cdot (-3)}{\sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 4^2 + (-3)^2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{25}} = \frac{1}{5\sqrt{13}} & &| \; \cos^{-1}(\dots) \\[1.6em] \varphi &\approx 86{,}8^{\circ} \end{align*}\]