Niclas beschließt, ein Kennwort zu wählen, das die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:
- Es besteht aus genau acht Zeichen, die untereinander verschieden sind.
- Die Buchstaben seines Namens sind in der korrekten Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung enthalten.
Damit sind beispielsweise Nic4+las oder nNicl*as mögliche Kennwörter. Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
\[\binom{8}{2} \cdot 74 \cdot 73 = 151256\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Da 6 Zeichen des 8 Zeichen langen Kennworts mit den Buchstaben des Namens „Niclas" besetzt sind, enthält das Kennwort noch 2 andere Zeichen. Dafür, wie diese auf 8 Zeichen verteilt sein können, gibt es \(\textcolor{#cc071e}{\displaystyle \binom{8}{2}}\) Möglichkeiten.
Oder anders formuliert: Es gibt \(\textcolor{#cc071e}{\displaystyle \binom{8}{2}}\) Möglichkeiten, 2 „Plätze" von 8 „Plätzen" auszuwählen, wobei die Auswahl einmalig erfolgt und die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt (Urnenmodell ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge bzw. „Ziehen mit einem Griff").
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.
\[n^{k}\]
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten
- nicht abiturrelevant -
\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)
Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.
Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).
Beispiel:
Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?
\(n = 30\)
\(k = 8\)
Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.
\[\left.\begin{align*}&\textcolor{#cc071e}{\square\,\square}\text{ N i c l a s} \\ & \qquad \quad \vdots \\ &\text{N }\textcolor{#cc071e}{\square}\text{ i c l }\textcolor{#cc071e}{\square}\text{ a s} \\ & \qquad \quad \vdots \\ &\text{N i c l }\textcolor{#cc071e}{\square}\text{ a }\textcolor{#cc071e}{\square}\text{ s} \\ & \qquad \quad \vdots \\&\text{N i c l a s }\textcolor{#cc071e}{\square \, \square}\end{align*}\enspace \right\}\; \textcolor{#cc071e}{\binom{8}{2}}\;\text{Möglichkeiten}\]
Alle Zeichen sollen untereinander verschieden sein. Abzüglich der 6 Buchstaben des Namens „Niclas" verbleiben \(80 - 6 = 74\) Zeichen.
Für eines der 2 andere Zeichen gibt es 74 mögliche Zeichen und für das andere nur noch 73 mögliche Zeichen, da sich die Zeichen nicht wiederholen dürfen (Urnenmodell ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge).
Es gibt also \(\textcolor{#0087c1}{74} \cdot \textcolor{#0087c1}{73}\) Möglichkeiten, die 2 anderen Zeichen zu besetzen.
Somit gibt es insgesamt \(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\binom{8}{2}} \cdot \textcolor{#0087c1}{74} \cdot \textcolor{#0087c1}{73} = 151256\) Möglichkeiten.
