Ein Investor plant, in einer Gemeinde, die aus den Orten Oberberg und Niederberg bestehen, eine Windkraftanlage zu errichten.
Um sich einen Überblick darüber zu verschaffen, wie die Einwohner zu diesem Vorhaben stehen, beschließt der Gemeinderat, eine Umfrage unter den Wahlberechtigten der Gemeinde durchzuführen. In Niederberg werden 1722, in Oberberg 258 Einwohner befragt. 1089 aller Befragten äußern keine Einwände gegen die Windkraftanlage, darunter sind allerdings nur 27 Einwohner von Oberberg. Die übrigen befragten Personen sprechen sich gegen die Windkraftanlage aus.
Bestimmen Sie jeweils den prozentualen Anteil der Gegner der Windkraftanlage unter den Befragten von Niederberg und unter den Befragten von Oberberg.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Ereignisse festlegen:
\(N\): "Einwohner aus Niederberg"
\(O\): "Einwohner aus Oberberg"
\(W\): "für die Windkraftanlage"
\(\overline{W}\): "gegen die Windkraftanlage"
Gesucht ist jeweils die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(\overline{W}\) unter der Bedingung von \(N\) bzw. \(O\), also die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_N(\overline{W})\) bzw. \(P_O(\overline{W})\).
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
Vierfeldertafel mit den Anzahlen der Ereignisse
Gegeben:
"In Niederberg werden 1722 ... Einwohner befragt."
\(\Longrightarrow \quad\) \(|N| = 1722\)
"... werden ... in Oberberg 258 Einwohner befragt."
\(\Longrightarrow \quad\) \(|O| = 258\)
"... 1089 aller Befragten äußern keine Einwände gegen die Winkkraftanlage ..."
\(\Longrightarrow \quad\) \(|W| = 1089 \quad\)
"... 1089 aller Befragten äußern keine Einwände ..., darunter ... 27 Einwohner von Oberberg"
\(\Longrightarrow \quad\) \(|W \cap O| = 27 \quad\)
| \(W\) | \(\overline{W}\) | ||
| \(N\) | \(|W \cap N| = 1062\) | \(|\overline{W} \cap N| = 660\) | \(|N| = 1722\) |
| \(O\) | \(|W \cap O| = 27\) | \(|\overline{W} \cap O| = 231\) | \(|O| = 258\) |
| \(|W| = 1089\) | \(|\overline{W}| = 891\) | \(|\Omega| = 1980\) |
\[|\Omega| = |N| + |O| = 1722 + 258 = 1980\]
\[|\overline{W}| = |\Omega| - |W| = 1980 - 1089 = 891\]
\[|W \cap N| = |W| - |W \cap O| = 1089 -27 = 1062\]
\[|\overline{W} \cap O| = |O| - |W \cap O| = 258 - 27 = 231\]
\[|\overline{W} \cap N| = |N| - |W \cap N| = 1722 - 1062 = 660\]
Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_N(\overline{W})\) berechnen:
\[P_N(\overline{W}) = \frac{P(N \cap \overline{W})}{P(N)}\]
\[P(N \cap \overline{W}) = \frac{|N \;\cap \;\overline{W}|}{|\Omega|}; \hspace{50px} P(N) = \frac{|N|}{|\Omega|}\]
\[\Longrightarrow \quad P_N(\overline{W}) = \frac{|N \cap \overline{W}|}{|N|} = \frac{660}{1722} = \frac{110}{287} \approx 0{,}383 = 38{,}3 \; \%\]
Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_O(\overline{W})\) berechnen:
\[P_O(\overline{W}) = \frac{P(O \cap \overline{W})}{P(O)}\]
\[P(O \cap \overline{W}) = \frac{|O \;\cap \;\overline{W}|}{|\Omega|}; \hspace{50px} P(O) = \frac{|N|}{|\Omega|}\]
\[\Longrightarrow \quad P_O(\overline{W}) = \frac{|O \cap \overline{W}|}{|O|} = \frac{231}{258} = \frac{77}{86} \approx 0{,}895 = 89{,}5 \; \%\]
